2011 AMC 12A Problema 22

Question

Sea

R

una región cuadrada y

n \ge 4

un entero. Un punto

X

en el interior de

R

se llama

n

-radial particional si hay

n

rayos que emanan de

X

y dividen

R

en

n

triángulos de igual área. ¿Cuántos puntos son

100

-radiales particionales pero no

60

-radiales particionales?

Let

R

be a square region and

n \ge 4

an integer. A point

X

in the interior of

R

is called

n

-ray partitional if there are

n

rays emanating from

X

that divide

R

into

n

triangles of equal area. How many points are

100

-ray partitional but not

60

-ray partitional?

1500

1560

2320

2480

2500

Respuesta: C

Conceptos:área punto reticular conteo complementario

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Los puntos

n

-radiales particionales forman una cuadrícula: para

n = 2m,

son los puntos interiores

\left(\tfrac{i}{m}, \tfrac{j}{m}\right),

una matriz

(m-1) \times (m-1)

The

n

-ray partitional points form a grid: for

n = 2m,

they are the interior points

\left(\tfrac{i}{m}, \tfrac{j}{m}\right),

an

(m-1) \times (m-1)

array

Pista grande:

Un punto es a la vez

100

- y

60

-radial particional exactamente cuando es

20

-radial particional

A point is both

100

- and

60

-ray partitional exactly when it is

20

-ray partitional

Solución:

Escalemos el cuadrado a

[0,1]^2

y escribamos

X=(x,y).

Los rayos deben incluir los que pasan por los cuatro vértices. Cada triángulo pequeño tiene área

\frac{1}{n}.

Los triángulos cuyas bases dividen el lado inferior tienen área total

\frac{y}{2},

así que su cantidad es

\frac{ny}{2}.

Del mismo modo, las cantidades junto a los lados superior, izquierdo y derecho son

\frac{n(1-y)}{2},

\frac{nx}{2},

y

\frac{n(1-x)}{2}.

Estos cuatro números deben ser enteros positivos. Por tanto,

n

es par y

\begin{gathered} X=\left(\dfrac{2i}{n},\dfrac{2j}{n}\right), \\ 1\le i,j\le\dfrac n2-1. \end{gathered}

Recíprocamente, al dividir cada lado en la cantidad indicada de segmentos iguales y unir los puntos de división con

X

, se producen

n

triángulos de igual área. Estos son exactamente los puntos particionales.

Para

n=100,

los puntos son

(\frac{i}{50},\frac{j}{50})

con

1\le i,j\le49,

lo que da

49^2=2401.

Un punto así también es particional de

60

rayos exactamente cuando

\frac{i}{50}=\frac{c}{30}

y

\frac{j}{50}=\frac{d}{30}

para enteros

c,d.

Por tanto,

i

y

j

deben ser múltiplos de

5.

Hay

9

opciones para cada uno, de modo que la intersección tiene

9^2=81

puntos.

Así, el conteo es

2401 - 81 = 2320.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Scale the square to

[0,1]^2

and write

X=(x,y).

The rays must include those through the four vertices. Every small triangle has area

\frac{1}{n}.

The triangles whose bases partition the bottom side together have area

\frac{y}{2},

so their number is

\frac{ny}{2}.

Similarly, the numbers along the top, left, and right sides are

\frac{n(1-y)}{2},

\frac{nx}{2},

and

\frac{n(1-x)}{2}.

These four numbers must be positive integers. Hence

n

is even and

\begin{gathered} X=\left(\dfrac{2i}{n},\dfrac{2j}{n}\right), \\ 1\le i,j\le\dfrac n2-1. \end{gathered}

Conversely, partitioning each side into the indicated number of equal segments and joining the division points to

X

produces

n

equal-area triangles. Thus these are exactly the partitional points.

For

n=100,

the points are

(\frac{i}{50},\frac{j}{50})

with

1\le i,j\le49,

giving

49^2=2401.

Such a point is also

60

-ray partitional exactly when

\frac{i}{50}=\frac{c}{30}

and

\frac{j}{50}=\frac{d}{30}

for integers

c,d.

Thus

i

and

j

must both be multiples of

5.

There are

9

choices for each, so the overlap has

9^2=81

points.

So the count is

2401 - 81 = 2320.

Thus, the correct answer is C.