2009 AMC 12A Problema 24

Question

La función torre de doses se define recursivamente como sigue:

T(1) = 2

y

T(n + 1) = 2^{T(n)}

para

n \ge 1.

Sea

A = (T(2009))^{T(2009)}

y

B = (T(2009))^A.

¿Cuál es el mayor entero

k

tal que

\underbrace{\log_2 \log_2 \log_2 \ldots \log_2}_{k} B

está definido?

The tower function of twos is defined recursively as follows:

T(1) = 2

and

T(n + 1) = 2^{T(n)}

for

n \ge 1.

Let

A = (T(2009))^{T(2009)}

and

B = (T(2009))^A.

What is the largest integer

k

such that

\underbrace{\log_2 \log_2 \log_2 \ldots \log_2}_{k} B

is defined?

2009

2010

2011

2012

2013

Respuesta: E

Conceptos:recursión logaritmo exponente

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Aplicar repetidamente

\log_2

quita un nivel de una torre:

\log_2 T(n + 1) = T(n)

.

Repeatedly applying

\log_2

peels one level off a tower:

\log_2 T(n + 1) = T(n)

Pista grande:

Sigue cuántos logaritmos puede resistir

B = (T(2009))^A

antes de que el valor caiga por debajo de

1

.

Track how many logs

B = (T(2009))^A

can survive before the value drops below

1

Solución:

Como

\log_2 T(n + 1) = T(n),

cada aplicación de

\log_2

elimina un

2

de la cima de una torre de doses.

Escribamos

T_j=T(j),

y sea

L_j

el resultado de aplicar

\log_2

a

B

exactamente

j

veces. Los dos primeros resultados son

\begin{aligned} L_1 &= A\,T_{2008}, \\ L_2 &= T_{2009}T_{2008}+T_{2007}. \end{aligned}

Para la cota inferior,

\begin{aligned} L_3 &\gt \log_2(T_{2009}T_{2008}) \\ &= T_{2008}+T_{2007} \\ &\gt T_{2008}. \end{aligned}

Al tomar logaritmos repetidamente se obtiene

L_{k+3} \gt T_{2008-k}

para

0\le k\le 2007.

En particular,

L_{2010}\gt2,

así que

L_{2011}\gt1

y

L_{2012}\gt0.

Por tanto,

L_{2013}

está definido.

Para la cota superior,

T_{2007}\lt T_{2008}T_{2009},

así que

\begin{aligned} L_3 &\lt 1+T_{2007}+T_{2008} \\ &\lt 2T_{2008}, \\ L_4 &\lt 1+T_{2007} \lt T_{2008}. \end{aligned}

Al repetir la última comparación se obtiene

L_{k+4}\lt T_{2008-k}

para

0\le k\le2007.

De aquí,

L_{2011}\lt2.

Junto con la cota inferior, esto da

0\lt L_{2012}\lt1,

así que

L_{2013}\lt0.

Por lo tanto,

L_{2014}

no está definido, y el mayor valor posible de

k

es

2013.

Así, la respuesta correcta es E.

Since

\log_2 T(n + 1) = T(n),

each application of

\log_2

strips one

2

off the top of a tower of twos.

Write

T_j=T(j),

and let

L_j

be the result of applying

\log_2

to

B

exactly

j

times. The first two results are

\begin{aligned} L_1 &= A\,T_{2008}, \\ L_2 &= T_{2009}T_{2008}+T_{2007}. \end{aligned}

For the lower bound,

\begin{aligned} L_3 &\gt \log_2(T_{2009}T_{2008}) \\ &= T_{2008}+T_{2007} \\ &\gt T_{2008}. \end{aligned}

Repeatedly taking logarithms gives

L_{k+3} \gt T_{2008-k}

for

0\le k\le 2007.

In particular,

L_{2010}\gt2,

so

L_{2011}\gt1

and

L_{2012}\gt0.

Thus

L_{2013}

is defined.

For the upper bound,

T_{2007}\lt T_{2008}T_{2009},

so

\begin{aligned} L_3 &\lt 1+T_{2007}+T_{2008} \\ &\lt 2T_{2008}, \\ L_4 &\lt 1+T_{2007} \lt T_{2008}. \end{aligned}

Repeating the last comparison gives

L_{k+4}\lt T_{2008-k}

for

0\le k\le2007.

Hence

L_{2011}\lt2.

Together with the lower bound, this yields

0\lt L_{2012}\lt1,

so

L_{2013}\lt0.

Therefore

L_{2014}

is undefined, and the largest possible

k

is

2013.

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12A Problema 24

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años