Question

La función torre de doses se define recursivamente como sigue: $T(1) = 2$ y $T(n + 1) = 2^{T(n)}$ para $n \ge 1.$ Sea $A = (T(2009))^{T(2009)}$ y $B = (T(2009))^A.$ ¿Cuál es el mayor entero $k$ tal que está definido? $\underbrace{\log_2 \log_2 \log_2 \ldots \log_2}_{k} B$

The tower function of twos is defined recursively as follows: $T(1) = 2$ and $T(n + 1) = 2^{T(n)}$ for $n \ge 1.$ Let $A = (T(2009))^{T(2009)}$ and $B = (T(2009))^A.$ What is the largest integer $k$ such that $\underbrace{\log_2 \log_2 \log_2 \ldots \log_2}_{k} B$ is defined?

$2009$

$2010$

$2011$

$2012$

$2013$

Respuesta: E

Conceptos:recursión logaritmo exponente

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Como $\log_2 T(n + 1) = T(n),$ cada aplicación de $\log_2$ elimina un $2$ de la cima de una torre de doses.

Escribamos $T_j=T(j),$ y sea $L_j$ el resultado de aplicar $\log_2$ a $B$ exactamente $j$ veces. Los dos primeros resultados son $\begin{aligned} L_1 &= A\,T_{2008}, \\ L_2 &= T_{2009}T_{2008}+T_{2007}. \end{aligned}$

Para la cota inferior, $\begin{aligned} L_3 &\gt \log_2(T_{2009}T_{2008}) \\ &= T_{2008}+T_{2007} \\ &\gt T_{2008}. \end{aligned}$ Al tomar logaritmos repetidamente se obtiene $L_{k+3} \gt T_{2008-k}$ para $0\le k\le 2007.$ En particular, $L_{2010}\gt2,$ así que $L_{2011}\gt1$ y $L_{2012}\gt0.$ Por tanto, $L_{2013}$ está definido.

Para la cota superior, $T_{2007}\lt T_{2008}T_{2009},$ así que $\begin{aligned} L_3 &\lt 1+T_{2007}+T_{2008} \\ &\lt 2T_{2008}, \\ L_4 &\lt 1+T_{2007} \lt T_{2008}. \end{aligned}$ Al repetir la última comparación se obtiene $L_{k+4}\lt T_{2008-k}$ para $0\le k\le2007.$ De aquí, $L_{2011}\lt2.$ Junto con la cota inferior, esto da $0\lt L_{2012}\lt1,$ así que $L_{2013}\lt0.$ Por lo tanto, $L_{2014}$ no está definido, y el mayor valor posible de $k$ es $2013.$

Así, la respuesta correcta es E.

Since $\log_2 T(n + 1) = T(n),$ each application of $\log_2$ strips one $2$ off the top of a tower of twos.

Write $T_j=T(j),$ and let $L_j$ be the result of applying $\log_2$ to $B$ exactly $j$ times. The first two results are $\begin{aligned} L_1 &= A\,T_{2008}, \\ L_2 &= T_{2009}T_{2008}+T_{2007}. \end{aligned}$

For the lower bound, $\begin{aligned} L_3 &\gt \log_2(T_{2009}T_{2008}) \\ &= T_{2008}+T_{2007} \\ &\gt T_{2008}. \end{aligned}$ Repeatedly taking logarithms gives $L_{k+3} \gt T_{2008-k}$ for $0\le k\le 2007.$ In particular, $L_{2010}\gt2,$ so $L_{2011}\gt1$ and $L_{2012}\gt0.$ Thus $L_{2013}$ is defined.

For the upper bound, $T_{2007}\lt T_{2008}T_{2009},$ so $\begin{aligned} L_3 &\lt 1+T_{2007}+T_{2008} \\ &\lt 2T_{2008}, \\ L_4 &\lt 1+T_{2007} \lt T_{2008}. \end{aligned}$ Repeating the last comparison gives $L_{k+4}\lt T_{2008-k}$ for $0\le k\le2007.$ Hence $L_{2011}\lt2.$ Together with the lower bound, this yields $0\lt L_{2012}\lt1,$ so $L_{2013}\lt0.$ Therefore $L_{2014}$ is undefined, and the largest possible $k$ is $2013.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12A Problema 24

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

El Problema 24 en otros años