2008 AMC 12B Problema 22

Question

Un estacionamiento tiene una fila de

16

espacios. Doce autos llegan, cada uno requiere un espacio, y sus conductores eligen sus espacios al azar entre los espacios disponibles. Luego Auntie Em llega en su SUV, que requiere

2

espacios adyacentes. ¿Cuál es la probabilidad de que ella pueda estacionar?

A parking lot has

16

spaces in a row. Twelve cars arrive, each of which requires one parking space, and their drivers choose their spaces at random from among the available spaces. Auntie Em then arrives in her SUV, which requires

2

adjacent spaces. What is the probability that she is able to park?

\dfrac{11}{20}

\dfrac{4}{7}

\dfrac{81}{140}

\dfrac{3}{5}

\dfrac{17}{28}

Respuesta: E

Conceptos:conteo complementario combinaciones arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Los

4

espacios vacíos tienen la misma probabilidad de ser cualesquiera

4

de los

16;

ella falla exactamente cuando no hay dos vacíos adyacentes.

The

4

empty spaces are equally likely to be any

4

of the

16;

she fails exactly when no two empties are adjacent

Pista grande:

El número de formas de elegir

4

espacios vacíos entre

16

sin dos adyacentes es

\binom{13}{4};

resta esa probabilidad de

1

.

The number of ways to choose

4

empty spaces among

16

with no two adjacent is

\binom{13}{4};

subtract that probability from

1

Solución:

Después de que los

12

autos estacionan,

4

espacios quedan vacíos, con la misma probabilidad de ser cualesquiera

4

de los

16,

para

\binom{16}{4} = 1820

conjuntos igualmente probables.

Auntie Em falla exactamente cuando no hay dos espacios vacíos adyacentes. El número de formas de colocar

4

vacíos no adyacentes entre

16

es

\binom{13}{4} = 715.

Así que la probabilidad de que pueda estacionar es

1 - \frac{715}{1820} = \frac{1105}{1820} = \frac{17}{28}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

After the

12

cars park,

4

spaces are empty, equally likely to be any

4

of the

16,

for

\binom{16}{4} = 1820

equally likely sets.

Auntie Em fails exactly when no two empty spaces are adjacent. The number of ways to place

4

non-adjacent empties among

16

is

\binom{13}{4} = 715.

So the probability she can park is

1 - \frac{715}{1820} = \frac{1105}{1820} = \frac{17}{28}.

Thus, the correct answer is E.