Question

Una mesa redonda tiene radio $4.$ Se colocan seis manteles individuales rectangulares sobre la mesa. Cada mantel tiene ancho $1$ y largo $x$ como se muestra. Se colocan de modo que cada mantel tenga dos esquinas en el borde de la mesa, siendo estas dos esquinas los extremos del mismo lado de largo $x.$ Además, los manteles se colocan de modo que las esquinas interiores toquen cada una una esquina interior de un mantel adyacente. ¿Cuánto vale $x$ ?

A round table has radius $4.$ Six rectangular place mats are placed on the table. Each place mat has width $1$ and length $x$ as shown. They are positioned so that each mat has two corners on the edge of the table, these two corners being endpoints of the same side of length $x.$ Further, the mats are positioned so that the inner corners each touch an inner corner of an adjacent mat. What is $x?$

$2\sqrt{5} - \sqrt{3}$

$3$

$\dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$

$2\sqrt{3}$

$\dfrac{5 + 2\sqrt{3}}{2}$

Respuesta: C

Conceptos:círculo triángulo isósceles Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2120

Solución:

Tomemos un mantel con esquinas exteriores $P$ y $Q,$ y sea $R$ el punto del borde de la mesa diametralmente opuesto a $P.$ Entonces $PR = 8$ es un diámetro, así que $\triangle PQR$ tiene un ángulo recto en $Q,$ con $PQ = x.$

A lo largo de $QR,$ las esquinas interiores de manteles vecinos se encuentran en un triángulo isósceles con dos lados de longitud $x$ y ángulo en el vértice $120^\circ,$ cuya base es $\sqrt{3}\,x.$ Por lo tanto $QR = \sqrt{3}\,x + 2.$

El Teorema de Pitágoras da que se simplifica a $x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.$ $x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64,$

Tomando la raíz positiva, $x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Take one mat with outer corners $P$ and $Q,$ and let $R$ be the point of the table's edge diametrically opposite $P.$ Then $PR = 8$ is a diameter, so $\triangle PQR$ has a right angle at $Q,$ with $PQ = x.$

Along $QR,$ the inner corners of neighboring mats meet in an isosceles triangle with two sides of length $x$ and vertex angle $120^\circ,$ whose base is $\sqrt{3}\,x.$ Hence $QR = \sqrt{3}\,x + 2.$

The Pythagorean Theorem gives $x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64,$ which simplifies to $x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.$

Taking the positive root, $x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.$

Thus, C is the correct answer.

2008 AMC 12A Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2120

Solución:

El Problema 22 en otros años