2008 AMC 12A Problema 22

Question

Una mesa redonda tiene radio

4.

Se colocan seis manteles individuales rectangulares sobre la mesa. Cada mantel tiene ancho

1

y largo

x

como se muestra. Se colocan de modo que cada mantel tenga dos esquinas en el borde de la mesa, siendo estas dos esquinas los extremos del mismo lado de largo

x.

Además, los manteles se colocan de modo que las esquinas interiores toquen cada una una esquina interior de un mantel adyacente. ¿Cuánto vale

x

?

A round table has radius

4.

Six rectangular place mats are placed on the table. Each place mat has width

1

and length

x

as shown. They are positioned so that each mat has two corners on the edge of the table, these two corners being endpoints of the same side of length

x.

Further, the mats are positioned so that the inner corners each touch an inner corner of an adjacent mat. What is

x?

2\sqrt{5} - \sqrt{3}

3

\dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}

2\sqrt{3}

\dfrac{5 + 2\sqrt{3}}{2}

Respuesta: C

Conceptos:círculo triángulo isósceles Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Para un mantel, sean

P, Q

sus esquinas exteriores y

R

el punto diametralmente opuesto a

P;

entonces

\triangle PQR

es rectángulo con

PR = 8

.

For one mat, let

P, Q

be its outer corners and

R

the point diametrically opposite

P;

then

\triangle PQR

is right-angled with

PR = 8

Pista grande:

Las esquinas interiores forman triángulos isósceles con ángulo en el vértice

120^\circ,

aportando un segmento de longitud

\sqrt{3}\,x

.

The inner corners form isosceles triangles with vertex angle

120^\circ,

contributing a segment of length

\sqrt{3}\,x

Solución:

Tomemos un mantel con esquinas exteriores

P

y

Q,

y sea

R

el punto del borde de la mesa diametralmente opuesto a

P.

Entonces

PR = 8

es un diámetro, así que

\triangle PQR

tiene un ángulo recto en

Q,

con

PQ = x.

A lo largo de

QR,

las esquinas interiores de manteles vecinos se encuentran en un triángulo isósceles con dos lados de longitud

x

y ángulo en el vértice

120^\circ,

cuya base es

\sqrt{3}\,x.

Por lo tanto

QR = \sqrt{3}\,x + 2.

El Teorema de Pitágoras da

x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64,

que se simplifica a

x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.

Tomando la raíz positiva,

x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Take one mat with outer corners

P

and

Q,

and let

R

be the point of the table’s edge diametrically opposite

P.

Then

PR = 8

is a diameter, so

\triangle PQR

has a right angle at

Q,

with

PQ = x.

Along

QR,

the inner corners of neighboring mats meet in an isosceles triangle with two sides of length

x

and vertex angle

120^\circ,

whose base is

\sqrt{3}\,x.

Hence

QR = \sqrt{3}\,x + 2.

The Pythagorean Theorem gives

x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64,

which simplifies to

x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.

Taking the positive root,

x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.

Thus, C is the correct answer.