2007 AMC 12B Problema 19

Question

El rombo

ABCD,

con longitud de lado

6,

se enrolla para formar un cilindro de volumen

6

pegando

\overline{AB}

a

\overline{DC}.

¿Cuánto vale

\sin(\angle ABC)

?

Rhombus

ABCD,

with side length

6,

is rolled to form a cylinder of volume

6

by taping

\overline{AB}

to

\overline{DC}.

What is

\sin(\angle ABC)?

\dfrac{\pi}{9}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{\pi}{6}

\dfrac{\pi}{4}

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Respuesta: A

Conceptos:cilindro rombo trigonometría

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pegar

\overline{AB}

a

\overline{DC}

hace que un lado de longitud

6

sea la circunferencia de la base, así que el radio es

\frac{3}{\pi}

.

Taping

\overline{AB}

to

\overline{DC}

makes a side of length

6

the base circumference, so the radius is

\frac{3}{\pi}

Pista grande:

La altura del cilindro es la altura del rombo

6\sin\theta;

iguala el volumen a

6

.

The cylinder’s height is the rhombus altitude

6\sin\theta;

set the volume equal to

6

Solución:

Sea

\theta=\angle ABC.

El círculo de la base tiene circunferencia

6,

así que su radio es

\dfrac{6}{2\pi}=\dfrac3\pi.

La altura del cilindro es la altura del rombo

6\sin\theta.

El volumen es

\pi\left(\dfrac3\pi\right)^2(6\sin\theta)=\dfrac{54}{\pi}\sin\theta=6,

así que

\sin\theta=\dfrac{\pi}{9}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

\theta=\angle ABC.

The base circle has circumference

6,

so its radius is

\dfrac{6}{2\pi}=\dfrac3\pi.

The height of the cylinder is the rhombus altitude

6\sin\theta.

The volume is

\pi\left(\dfrac3\pi\right)^2(6\sin\theta)=\dfrac{54}{\pi}\sin\theta=6,

so

\sin\theta=\dfrac{\pi}{9}.

Thus, the correct answer is A.