2007 AMC 12A Problema 8

Question

Se dibuja un polígono estrellado sobre la esfera de un reloj trazando una cuerda desde cada número hasta el quinto número contado en sentido horario a partir de ese número. Es decir, se trazan cuerdas desde

12

hasta

5,

desde

5

hasta

10,

desde

10

hasta

3,

y así sucesivamente, terminando de nuevo en

12.

¿Cuál es la medida en grados del ángulo en cada vértice del polígono estrellado?

A star-polygon is drawn on a clock face by drawing a chord from each number to the fifth number counted clockwise from that number. That is, chords are drawn from

12

to

5,

from

5

to

10,

from

10

to

3,

and so on, ending back at

12.

What is the degree measure of the angle at each vertex in the star-polygon?

20

24

30

36

60

Respuesta: C

Conceptos:ángulo inscrito arco

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Cada ángulo de vértice es un ángulo inscrito en el círculo que pasa por los números del reloj.

Each vertex angle is an inscribed angle in the circle through the clock numbers

Pista grande:

Las dos cuerdas que se encuentran en un vértice recortan un arco que abarca dos marcas horarias, o

60^\circ

.

The two chords meeting at a vertex cut off an arc spanning two hour-marks, or

60^\circ

Solución:

Considera las dos cuerdas que se encuentran en el número

5.

Van hacia

12

y hacia

10,

así que el arco que subtienden se extiende desde

10

hasta

12.

Ese arco abarca dos de las doce marcas horarias, así que su medida es

\tfrac{2}{12}\cdot 360^\circ=60^\circ.

Por el Teorema del Ángulo Inscrito, el ángulo del vértice es la mitad del arco, o

\tfrac12\cdot 60^\circ=30^\circ.

Por simetría, cada ángulo de vértice es igual a

30^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Consider the two chords meeting at the number

5.

They run to

12

and to

10,

so the arc they subtend extends from

10

to

12.

That arc spans two of the twelve hour-marks, so its measure is

\tfrac{2}{12}\cdot 360^\circ=60^\circ.

By the Inscribed Angle Theorem, the vertex angle is half the arc, or

\tfrac12\cdot 60^\circ=30^\circ.

By symmetry every vertex angle equals

30^\circ.

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12A Problema 8

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años