2006 AMC 12B Problema 16

Question

El hexágono regular

ABCDEF

tiene los vértices

A

y

C

en

(0, 0)

y

(7, 1),

respectivamente. ¿Cuál es su área?

Regular hexagon

ABCDEF

has vertices

A

and

C

at

(0, 0)

and

(7, 1),

respectively. What is its area?

20\sqrt{3}

22\sqrt{3}

25\sqrt{3}

27\sqrt{3}

50

Respuesta: C

Conceptos:polígono regular fórmula de la distancia área

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

A

y

C

están separados por dos vértices, así que

AC

es una diagonal corta del hexágono.

A

and

C

are two vertices apart, so

AC

is a short diagonal of the hexagon

Pista grande:

Para un lado de longitud

s,

la diagonal corta es

s\sqrt3;

el área es

\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2

.

For side length

s,

the short diagonal is

s\sqrt3;

the area is

\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2

Solución:

La distancia es

AC = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}.

En un hexágono regular de lado

s,

la distancia entre vértices separados por dos es

s\sqrt3,

así que

s^2 \cdot 3 = 50,

lo que da

s^2 = \dfrac{50}{3}.

El área del hexágono es

\frac{3\sqrt3}{2}s^2 = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot \frac{50}{3} = 25\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The distance is

AC = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}.

In a regular hexagon with side

s,

the distance between vertices two apart is

s\sqrt3,

so

s^2 \cdot 3 = 50,

giving

s^2 = \dfrac{50}{3}.

The hexagon’s area is

\frac{3\sqrt3}{2}s^2 = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot \frac{50}{3} = 25\sqrt3.

Thus, the correct answer is C.