2006 AMC 12A Problema 22

Question

Una circunferencia de radio

r

es concéntrica y exterior a un hexágono regular de lado

2.

La probabilidad de que tres lados completos del hexágono sean visibles desde un punto elegido al azar en la circunferencia es

\frac{1}{2}.

¿Cuánto vale

r

?

A circle of radius

r

is concentric with and outside a regular hexagon of side length

2.

The probability that three entire sides of the hexagon are visible from a randomly chosen point on the circle is

\frac{1}{2}.

What is

r?

2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}

3\sqrt{3} + \sqrt{2}

2\sqrt{6} + \sqrt{3}

3\sqrt{2} + \sqrt{6}

6\sqrt{2} - \sqrt{3}

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad geométrica polígono regular trigonometría

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Los arcos complementarios, desde los cuales solo se ven dos lados completos, suman la mitad de la circunferencia; por simetría cada uno mide

30^\circ

.

The complementary arcs, from which only two whole sides are visible, total half the circle; by symmetry each measures

30^\circ

Pista grande:

La distancia del centro a un lado (la apotema) es

\sqrt{3},

y

\sqrt{3} = r\sin 15^\circ

.

The distance from the center to a side (the apothem) is

\sqrt{3},

and

\sqrt{3} = r\sin 15^\circ

Solución:

Coloquemos el hexágono en el centro del círculo. A cada vértice le corresponde un arco desde el cual solo se ven por completo los dos lados que se encuentran allí. Estos seis arcos congruentes forman la probabilidad complementaria

\tfrac{1}{2},

así que cada arco mide

30^\circ.

Tomemos el arco centrado en el rayo del centro

O

al vértice

A,

y sea

P

su extremo superior. Entonces

\angle POA = 15^\circ,

y en

P

un tercer lado acaba de hacerse visible, así que

P

está en la recta que contiene ese lado. Su distancia a

O

es la apotema

\sqrt{3}.

Por tanto,

\sqrt{3} = r\sin 15^\circ = r \cdot \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4},

lo que da

r = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place the hexagon at the center of the circle. Corresponding to each vertex is an arc from which only the two sides meeting there are entirely visible. These six congruent arcs make up the complementary probability

\tfrac{1}{2},

so each arc measures

30^\circ.

Take the arc centered on the ray from the center

O

through a vertex

A,

and let

P

be its upper endpoint. Then

\angle POA = 15^\circ,

and at

P

a third side is just becoming visible, so

P

lies on that side’s supporting line. Its distance from

O

is the apothem

\sqrt{3}.

Hence

\sqrt{3} = r\sin 15^\circ = r \cdot \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4},

giving

r = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}.

Thus, the correct answer is D.