2006 AMC 12A Problema 16

Question

Las circunferencias con centros

A

y

B

tienen radios

3

y

8,

respectivamente. Una tangente interna común corta a las circunferencias en

C

y

D,

respectivamente. Las rectas

AB

y

CD

se cortan en

E,

y

AE = 5.

¿Cuánto vale

CD

?

Circles with centers

A

and

B

have radii

3

and

8,

respectively. A common internal tangent intersects the circles at

C

and

D,

respectively. Lines

AB

and

CD

intersect at

E,

and

AE = 5.

What is

CD?

13

\dfrac{44}{3}

\sqrt{221}

\sqrt{255}

\dfrac{55}{3}

Respuesta: B

Conceptos:semejanza recta tangente Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Los radios

AC

y

BD

son perpendiculares a la tangente, así que

\triangle ACE \sim \triangle BDE

.

Radii

AC

and

BD

are perpendicular to the tangent, so

\triangle ACE \sim \triangle BDE

Pista grande:

CE = \sqrt{AE^2 - AC^2} = 4,

y

\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC}

.

CE = \sqrt{AE^2 - AC^2} = 4,

and

\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC}

Solución:

Los radios cumplen

AC \perp CD

y

BD \perp CD.

Por el teorema de Pitágoras,

CE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.

Como

\triangle ACE \sim \triangle BDE,

obtenemos

\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC} = \tfrac{8}{3},

así que

DE = 4 \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{32}{3}.

Entonces

\begin{gathered} CD = CE + DE \\ = 4 + \frac{32}{3} \\ = \frac{44}{3}. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The radii satisfy

AC \perp CD

and

BD \perp CD.

By the Pythagorean theorem,

CE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.

Since

\triangle ACE \sim \triangle BDE,

we get

\tfrac{DE}{CE} = \tfrac{BD}{AC} = \tfrac{8}{3},

so

DE = 4 \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{32}{3}.

Then

\begin{gathered} CD = CE + DE \\ = 4 + \frac{32}{3} \\ = \frac{44}{3}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.