2005 AMC 12B Problema 16

Question

Ocho esferas de radio

1,

una por octante, son cada una tangentes a los planos coordenados. ¿Cuál es el radio de la esfera más pequeña, centrada en el origen, que contiene estas ocho esferas?

Eight spheres of radius

1,

one per octant, are each tangent to the coordinate planes. What is the radius of the smallest sphere, centered at the origin, that contains these eight spheres?

\sqrt{2}

\sqrt{3}

1 + \sqrt{2}

1 + \sqrt{3}

3

Respuesta: D

Conceptos:Geometría 3D esfera fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Una esfera unitaria tangente a los tres planos coordenados en un octante tiene centro

(\pm1, \pm1, \pm1)

.

A unit sphere tangent to all three coordinate planes in one octant has center

(\pm1, \pm1, \pm1)

Pista grande:

Suma la distancia del origen a un centro y un radio más.

Add the distance from the origin to a center and one more radius

Solución:

Una esfera de radio

1

tangente a los tres planos coordenados en un octante tiene su centro en un punto como

(1, 1, 1),

a distancia

\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt3

del origen.

El punto de esa esfera más lejano del origen está a distancia

\sqrt3 + 1,

así que la esfera que las contiene tiene radio

1 + \sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A sphere of radius

1

tangent to the three coordinate planes in one octant has its center at a point like

(1, 1, 1),

at distance

\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt3

from the origin.

The farthest point of that sphere from the origin is at distance

\sqrt3 + 1,

so the containing sphere has radius

1 + \sqrt3.

Thus, the correct answer is D.