2005 AMC 12A Problema 22

Question

Una caja rectangular

P

está inscrita en una esfera de radio

r.

El área de la superficie de

P

es

384,

y la suma de las longitudes de sus

12

aristas es

112.

¿Cuánto vale

r

?

A rectangular box

P

is inscribed in a sphere of radius

r.

The surface area of

P

is

384,

and the sum of the lengths of its

12

edges is

112.

What is

r?

8

10

12

14

16

Respuesta: B

Conceptos:prisma rectangular esfera manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Sean las dimensiones

x, y, z.

La suma de aristas da

x + y + z

y el área de la superficie da

2xy + 2yz + 2xz

.

Let the dimensions be

x, y, z.

The edge sum gives

x + y + z

and the surface area gives

2xy + 2yz + 2xz

Pista grande:

El diámetro de la esfera es la diagonal espacial, por lo tanto

(2r)^2

= x^2 + y^2 + z^2

= (x+y+z)^2

- (2xy + 2yz + 2xz)

.

The sphere’s diameter is the space diagonal:

(2r)^2

= x^2 + y^2 + z^2

= (x+y+z)^2

- (2xy + 2yz + 2xz)

Solución:

Sean las dimensiones

x, y, z.

Las

12

aristas dan

4(x + y + z) = 112,

así que

x + y + z = 28,

y el área de la superficie da

2xy + 2yz + 2xz = 384.

La diagonal espacial es un diámetro de la esfera, así que

\begin{aligned} &(2r)^2 = x^2 + y^2 + z^2 \\ &= (x + y + z)^2 \\ &\quad {}- (2xy + 2yz + 2xz) \\ &= 28^2 - 384 = 400. \end{aligned}

Por lo tanto

2r = 20

y

r = 10.

Así, la respuesta correcta es B.

Let the dimensions be

x, y, z.

The

12

edges give

4(x + y + z) = 112,

so

x + y + z = 28,

and the surface area gives

2xy + 2yz + 2xz = 384.

The space diagonal is a diameter of the sphere, so

\begin{aligned} &(2r)^2 = x^2 + y^2 + z^2 \\ &= (x + y + z)^2 \\ &\quad {}- (2xy + 2yz + 2xz) \\ &= 28^2 - 384 = 400. \end{aligned}

Thus

2r = 20

and

r = 10.

Thus, the correct answer is B.