2005 AMC 12A Problema 17

Question

Un cubo unitario se corta dos veces para formar tres prismas triangulares, dos de los cuales son congruentes, como se muestra en la Figura

1.

Luego el cubo se corta de la misma manera a lo largo de las líneas discontinuas mostradas en la Figura

2.

Esto crea nueve piezas. ¿Cuál es el volumen de la pieza que contiene el vértice

W

?

A unit cube is cut twice to form three triangular prisms, two of which are congruent, as shown in Figure

1.

The cube is then cut in the same manner along the dashed lines shown in Figure

2.

This creates nine pieces. What is the volume of the piece that contains vertex

W?

\dfrac{1}{12}

\dfrac{1}{9}

\dfrac{1}{8}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{4}

La pieza en

W

es una pirámide; identifica su base y su ápice.

The piece at

W

is a pyramid; identify its base and apex

Si el área de su base es

B

y su altura es

h,

usa

V = \dfrac{1}{3}Bh

.

If its base area is

B

and height is

h,

use

V = \dfrac{1}{3}Bh

Cada uno de los dos conjuntos de cortes va desde una arista superior hasta la línea media de la cara inferior. Cerca de

W

tallan una pirámide cuadrangular. Su base es la cuarta parte de la cara inferior adyacente a

W,

y su ápice está a una unidad por encima del centro de la cara inferior.

Su base es un cuadrado de lado

\dfrac{1}{2}

(una cuarta parte de la cara inferior) y su altura es la altura completa

1.

Por lo tanto el volumen es

\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 (1) = \dfrac{1}{12}.

Así, la respuesta correcta es A.

The two perpendicular sets of cuts each run from top edges to midlines of the bottom face. Near

W

they carve out a square pyramid. Its base is the quarter of the bottom face adjacent to

W,

and its apex lies one unit above the center of the bottom face.

Thus its base is a square of side

\dfrac{1}{2}

and its altitude is the full height

1.

Therefore the volume is

\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 (1) = \dfrac{1}{12}.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 17 en otros años