2004 AMC 12B Problema 19

Question

Un cono truncado tiene bases horizontales con radios

18

y

2.

Una esfera es tangente a la superficie superior, inferior y lateral del cono truncado. ¿Cuál es el radio de la esfera?

A truncated cone has horizontal bases with radii

18

and

2.

A sphere is tangent to the top, bottom, and lateral surface of the truncated cone. What is the radius of the sphere?

6

4\sqrt{5}

9

10

6\sqrt{3}

Toma la sección transversal que pasa por el eje: un trapecio isósceles con un círculo inscrito.

Take the cross-section through the axis: an isosceles trapezoid with an inscribed circle

Las longitudes de las tangentes dan un lado oblicuo de

18 + 2 = 20;

traza una altura para formar un triángulo rectángulo.

Tangent lengths give a slant side of

18 + 2 = 20;

drop a height to form a right triangle

La sección axial es un trapecio

ABCD

con lados paralelos

2

y

18

y un círculo inscrito (un círculo máximo de la esfera). Por igualdad de longitudes de tangentes desde

B

y

C,

el lado oblicuo

BC = 18 + 2 = 20.

Al trazar una perpendicular desde

C

hasta la base inferior se obtiene un triángulo rectángulo con cateto horizontal

18 - 2 = 16,

así que la altura es

\sqrt{20^2 - 16^2} = 12.

El radio de la esfera es la mitad de la altura,

6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The axial cross-section is a trapezoid

ABCD

with parallel sides

2

and

18

and an inscribed circle (a great circle of the sphere). By equal tangent lengths from

B

and

C,

the slant side

BC = 18 + 2 = 20.

Dropping a perpendicular from

C

to the bottom base gives a right triangle with horizontal leg

18 - 2 = 16,

so the height is

\sqrt{20^2 - 16^2} = 12.

The sphere’s radius is half the height,

6.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 19 en otros años