2003 AMC 12B Problema 24

Question

Se eligen enteros positivos

a,

b,

y

c

de modo que

a \lt b \lt c,

y el sistema de ecuaciones

2x + y = 2003

y

\begin{aligned} &y = |x - a| + |x - b| \\ &\quad {}+ |x - c| \end{aligned}

tiene exactamente una solución. ¿Cuál es el mínimo valor de

c

?

Positive integers

a,

b,

and

c

are chosen so that

a \lt b \lt c,

and the system of equations

2x + y = 2003

and

\begin{aligned} &y = |x - a| + |x - b| \\ &\quad {}+ |x - c| \end{aligned}

has exactly one solution. What is the minimum value of

c?

668

669

1002

2003

2004

Respuesta: C

Conceptos:valor absoluto sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

La gráfica de

y = |x-a| + |x-b| + |x-c|

es lineal por tramos con pendientes

-3, -1, 1, 3

The graph of

y = |x-a| + |x-b| + |x-c|

is piecewise linear with slopes

-3, -1, 1, 3

Pista grande:

La recta tiene pendiente

-2;

una única intersección obliga a que toque el vértice en

x = a,

donde

y = b + c - 2a

The line has slope

-2;

a single intersection forces it to touch the corner at

x = a,

where

y = b + c - 2a

Solución:

La función

y = |x-a| + |x-b| + |x-c|

es lineal por tramos, con pendientes

-3, -1, 1, 3

y vértices en

x = a, b, c.

La recta

2x + y = 2003

tiene pendiente

-2.

Una recta de pendiente

-2

corta la gráfica exactamente una vez solo si pasa por el vértice más a la izquierda

(a,\, b + c - 2a),

donde la pendiente salta de

-3

a

-1.

Al sustituir,

2a + (b + c - 2a) = 2003,

así que

b + c = 2003.

Como

b \lt c,

necesitamos

c \gt \dfrac{2003}{2},

de modo que

c \ge 1002.

Esta cota se alcanza tomando

a = 1,

b = 1001,

y

c = 1002.

Por tanto, el mínimo es

1002.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The function

y = |x-a| + |x-b| + |x-c|

is piecewise linear with slopes

-3, -1, 1, 3

and corners at

x = a, b, c.

The line

2x + y = 2003

has slope

-2.

A line of slope

-2

meets this graph exactly once only if it passes through the leftmost corner

(a,\, b + c - 2a),

where the graph’s slope jumps from

-3

to

-1.

Substituting,

2a + (b + c - 2a) = 2003,

so

b + c = 2003.

Since

b \lt c,

we need

c \gt \dfrac{2003}{2},

so

c \ge 1002.

This bound is attained: take

a = 1,

b = 1001,

and

c = 1002.

Therefore the minimum is

1002.

Thus, the correct answer is C.