2003 AMC 12A Problema 9

Question

El conjunto

S

de puntos en el plano

xy

es simétrico respecto al origen, a ambos ejes coordenados y a la recta

y = x.

Si

(2, 3)

está en

S,

¿cuál es el menor número de puntos que puede tener

S

?

A set

S

of points in the

xy

-plane is symmetric about the origin, both coordinate axes, and the line

y = x.

If

(2, 3)

is in

S,

what is the smallest number of points in

S?

1

2

4

8

16

Respuesta: D

Conceptos:transformación simetría

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Reflejar

(2,3)

sobre

y=x

da

(3,2)

.

Reflecting

(2,3)

over

y=x

gives

(3,2)

Pista grande:

Las simetrías producen todas las combinaciones de signos y el intercambio de coordenadas.

The symmetries produce every sign choice and coordinate swap

Solución:

Reflejar respecto a

y=x

da

(3,2),

y reflejar respecto a los ejes da todos los puntos

(\pm2,\pm3)

y

(\pm3,\pm2).

Hay

8

puntos de este tipo, y este conjunto ya es simétrico respecto al origen, a ambos ejes y a

y=x.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Reflecting across

y=x

gives

(3,2),

and reflecting across the axes gives all points

(\pm2,\pm3)

and

(\pm3,\pm2).

There are

8

such points, and this set is already symmetric about the origin, both axes, and

y=x.

Thus, the correct answer is D.