2003 AMC 12A Problema 7

Question

¿Cuántos triángulos no congruentes con perímetro

7

tienen lados de longitud entera?

How many non-congruent triangles with perimeter

7

have integer side lengths?

1

2

3

4

5

El lado más largo debe ser menor que la mitad del perímetro.

The longest side must be less than half the perimeter

El lado más largo es a lo sumo

3

.

The longest side is at most

3

Sean los lados

a\le b\le c

con

a+b+c=7.

La desigualdad triangular exige

c\lt a+b,

así que

c\lt3.5,

lo que obliga a

c=3.

Entonces

a+b=4

con

a\le b\le3,

lo que da los triángulos

1\text{-}3\text{-}3

y

2\text{-}2\text{-}3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the sides be

a\le b\le c

with

a+b+c=7.

The triangle inequality requires

c\lt a+b,

so

c\lt3.5,

forcing

c=3.

Then

a+b=4

with

a\le b\le3,

giving the triangles

1\text{-}3\text{-}3

and

2\text{-}2\text{-}3.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 7 en otros años