2003 AMC 12A Problema 17

Question

El cuadrado

ABCD

tiene lados de longitud

4,

y

M

es el punto medio de

\overline{CD}.

Un círculo de radio

2

y centro

M

corta a un círculo de radio

4

y centro

A

en los puntos

P

y

D.

¿Cuál es la distancia de

P

a

\overline{AD}

?

Square

ABCD

has sides of length

4,

and

M

is the midpoint of

\overline{CD}.

A circle with radius

2

and center

M

intersects a circle with radius

4

and center

A

at points

P

and

D.

What is the distance from

P

to

\overline{AD}?

3

\dfrac{16}{5}

\dfrac{13}{4}

2\sqrt{3}

\dfrac{7}{2}

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica círculo

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Coloca

D

en el origen con

A

en el eje

y

y

C

en el eje

x

.

Put

D

at the origin with

A

on the

y

-axis and

C

on the

x

-axis

Pista grande:

La distancia de

P

a

\overline{AD}

es la coordenada

x

de

P

.

The distance from

P

to

\overline{AD}

is the

x

-coordinate of

P

Solución:

Coloca

D=(0,0),

C=(4,0),

y

A=(0,4).

El círculo centrado en

M=(2,0)

es

(x-2)^2+y^2=4,

y el círculo centrado en

A

es

x^2+(y-4)^2=16.

Al resolver estas ecuaciones se obtiene la intersección

P=\left(\dfrac{16}{5},\dfrac85\right).

Como

\overline{AD}

está sobre el eje

y

, la distancia de

P

a

\overline{AD}

es su coordenada

x

,

\dfrac{16}{5}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place

D=(0,0),

C=(4,0),

and

A=(0,4).

The circle centered at

M=(2,0)

is

(x-2)^2+y^2=4,

and the circle centered at

A

is

x^2+(y-4)^2=16.

Solving these equations gives the intersection

P=\left(\dfrac{16}{5},\dfrac85\right).

Since

\overline{AD}

lies on the

y

-axis, the distance from

P

to

\overline{AD}

is its

x

-coordinate,

\dfrac{16}{5}.

Thus, the correct answer is B.