2002 AMC 12B Problema 19

Question

Si

a,

b,

y

c

son números reales positivos tales que

a(b+c)=152,

b(c+a)=162,

y

c(a+b)=170,

entonces

abc

es

If

a,

b,

and

c

are positive real numbers such that

a(b+c)=152,

b(c+a)=162,

and

c(a+b)=170,

then

abc

is

672

688

704

720

750

Suma las tres ecuaciones para obtener

ab+bc+ca

.

Add all three equations to get

ab+bc+ca

Resta cada ecuación original de ese total para hallar

ab,

bc,

ca,

luego multiplica y toma una raíz cuadrada.

Subtract each original equation from that total to find

ab,

bc,

ca,

then multiply and take a square root

Sumar las tres ecuaciones da

2(ab+bc+ca)=484,

así que

ab+bc+ca=242.

Restar de esto cada ecuación original produce

bc=90,

ca=80,

y

ab=72.

Al multiplicar,

(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2,

y como

abc\gt0,

obtenemos

abc=720.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding the three equations gives

2(ab+bc+ca)=484,

so

ab+bc+ca=242.

Subtracting each original equation from this yields

bc=90,

ca=80,

and

ab=72.

Multiplying,

(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2,

and since

abc\gt0,

we get

abc=720.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 19 en otros años