2002 AMC 12A Problema 7

Question

Si un arco de

45^\circ

en el círculo

A

tiene la misma longitud que un arco de

30^\circ

en el círculo

B,

entonces la razón entre el área del círculo

A

y el área del círculo

B

es

If an arc of

45^\circ

on circle

A

has the same length as an arc of

30^\circ

on circle

B,

then the ratio of the area of circle

A

to the area of circle

B

is

\dfrac{4}{9}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{5}{6}

\dfrac{3}{2}

\dfrac{9}{4}

Longitudes de arco iguales:

\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi R_A = \dfrac{30}{360}\cdot 2\pi R_B

.

Equal arc lengths:

\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi R_A = \dfrac{30}{360}\cdot 2\pi R_B

Halle

\dfrac{R_A}{R_B};

la razón de áreas es su cuadrado.

Find

\dfrac{R_A}{R_B};

the area ratio is its square

Longitudes de arco iguales dan

\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi R_A = \dfrac{30}{360}\cdot 2\pi R_B,

así que

\dfrac{R_A}{R_B} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}.

La razón de áreas es

\left(\dfrac{R_A}{R_B}\right)^2 = \dfrac{4}{9}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Equal arc lengths give

\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi R_A = \dfrac{30}{360}\cdot 2\pi R_B,

so

\dfrac{R_A}{R_B} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}.

The ratio of areas is

\left(\dfrac{R_A}{R_B}\right)^2 = \dfrac{4}{9}.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 7 en otros años