2002 AMC 12A Problema 24

Question

Halle el número de pares ordenados de números reales

(a, b)

tales que

(a + bi)^{2002} = a - bi.

Find the number of ordered pairs of real numbers

(a, b)

such that

(a + bi)^{2002} = a - bi.

1001

1002

2001

2002

2004

Respuesta: E

Conceptos:número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Escriba

z = a + bi,

de modo que la ecuación es

z^{2002} = \overline{z};

tome módulos.

Write

z = a + bi,

so the equation is

z^{2002} = \overline{z};

take magnitudes

Pista grande:

|z|^{2002} = |z|

obliga a

|z| = 0

o

|z| = 1;

cuando

|z| = 1,

\overline{z} = \dfrac1z

.

|z|^{2002} = |z|

forces

|z| = 0

or

|z| = 1;

when

|z| = 1,

\overline{z} = \dfrac1z

Solución:

Sea

z = a + bi.

La ecuación es

z^{2002} = \overline{z}.

Tomando módulos,

|z|^{2002} = |z|,

así que

|z|\big(|z|^{2001} - 1\big) = 0,

dando

|z| = 0

o

|z| = 1.

Si

|z| = 0,

entonces

(a, b) = (0, 0),

una solución. Si

|z| = 1,

entonces

\overline{z} = \dfrac1z,

así que

z^{2002} = \dfrac1z,

es decir

z^{2003} = 1,

que tiene

2003

raíces distintas.

En total hay

1 + 2003 = 2004

pares ordenados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

z = a + bi.

The equation is

z^{2002} = \overline{z}.

Taking magnitudes,

|z|^{2002} = |z|,

so

|z|\big(|z|^{2001} - 1\big) = 0,

giving

|z| = 0

or

|z| = 1.

If

|z| = 0,

then

(a, b) = (0, 0),

one solution. If

|z| = 1,

then

\overline{z} = \dfrac1z,

so

z^{2002} = \dfrac1z,

i.e.

z^{2003} = 1,

which has

2003

distinct roots.

Altogether there are

1 + 2003 = 2004

ordered pairs.

Thus, the correct answer is E.