2002 AMC 12A Problema 22

Question

El triángulo

ABC

es un triángulo rectángulo con

\angle ACB

como su ángulo recto,

m\angle ABC = 60^\circ,

y

AB = 10.

Sea

P

elegido al azar dentro de

\triangle ABC,

y extienda

\overline{BP}

hasta cortar

\overline{AC}

en

D.

¿Cuál es la probabilidad de que

BD \gt 5\sqrt{2}

?

Triangle

ABC

is a right triangle with

\angle ACB

as its right angle,

m\angle ABC = 60^\circ,

and

AB = 10.

Let

P

be randomly chosen inside

\triangle ABC,

and extend

\overline{BP}

to meet

\overline{AC}

at

D.

What is the probability that

BD \gt 5\sqrt{2}?

\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{5 - \sqrt{5}}{5}

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad geométrica razón de áreas triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

\triangle ABC

es

30

-

60

-

90

con

BC = 5

y

AC = 5\sqrt{3}

.

\triangle ABC

is

30

-

60

-

90

with

BC = 5

and

AC = 5\sqrt{3}

Pista grande:

Elija

E

en

\overline{AC}

con

CE = 5,

de modo que

BE = 5\sqrt{2};

entonces

BD \gt 5\sqrt{2}

si y solo si

P

está dentro de

\triangle ABE

.

Choose

E

on

\overline{AC}

with

CE = 5,

so

BE = 5\sqrt{2};

then

BD \gt 5\sqrt{2}

iff

P

lies inside

\triangle ABE

Solución:

Como

AB = 10

y

\angle ABC = 60^\circ,

el triángulo

30

-

60

-

90

tiene

BC = 5

y

AC = 5\sqrt3.

Ubique

E

en

\overline{AC}

con

CE = 5;

entonces

BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2.

A medida que

D

se mueve a lo largo de

\overline{AC},

BD = \sqrt{25 + CD^2}

supera

5\sqrt2

exactamente cuando

CD \gt 5,

es decir cuando

D

queda más allá de

E,

lo que ocurre si y solo si

P

está dentro de

\triangle ABE.

La probabilidad es

\begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

AB = 10

and

\angle ABC = 60^\circ,

the

30

-

60

-

90

triangle has

BC = 5

and

AC = 5\sqrt3.

Place

E

on

\overline{AC}

with

CE = 5;

then

BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2.

As

D

moves along

\overline{AC},

BD = \sqrt{25 + CD^2}

exceeds

5\sqrt2

exactly when

CD \gt 5,

i.e. when

D

lies beyond

E,

which happens iff

P

is inside

\triangle ABE.

The probability is

\begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12A Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años