2001 AMC 12 Problema 2

Question

Sean

P(n)

y

S(n)

el producto y la suma, respectivamente, de los dígitos del entero

n.

Por ejemplo,

P(23) = 6

y

S(23) = 5.

Supongamos que

N

es un número de dos dígitos tal que

N = P(N) + S(N).

¿Cuál es el dígito de las unidades de

N

?

Let

P(n)

and

S(n)

denote the product and the sum, respectively, of the digits of the integer

n.

For example,

P(23) = 6

and

S(23) = 5.

Suppose

N

is a two-digit number such that

N = P(N) + S(N).

What is the units digit of

N?

2

3

6

8

9

Respuesta: E

Conceptos:dígitos valor posicional

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

Escribe

N = 10a + b

donde

a

es el dígito de las decenas y

b

es el dígito de las unidades

Write

N = 10a + b

where

a

is the tens digit and

b

is the units digit

Pista grande:

La ecuación

10a + b = ab + a + b

se simplifica a

9a = ab

The equation

10a + b = ab + a + b

simplifies to

9a = ab

Solución:

Escribe

N = 10a + b.

Entonces

P(N) = ab

y

S(N) = a + b,

así que

10a + b = ab + a + b.

Esto se reduce a

9a = ab.

Como

a \neq 0,

podemos dividir entre

a

para obtener

b = 9.

El dígito de las unidades de

N

es

9.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write

N = 10a + b.

Then

P(N) = ab

and

S(N) = a + b,

so

10a + b = ab + a + b.

This reduces to

9a = ab.

Since

a \neq 0,

we can divide by

a

to get

b = 9.

The units digit of

N

is

9.

Thus, the correct answer is E.