2001 AMC 12 Problema 22

Question

En el rectángulo

ABCD,

los puntos

F

y

G

están sobre

\overline{AB}

de modo que

AF = FG = GB

y

E

es el punto medio de

\overline{DC}.

Además,

\overline{AC}

corta a

\overline{EF}

en

H

y a

\overline{EG}

en

J.

El área del rectángulo

ABCD

es

70.

Halla el área del triángulo

EHJ.

In rectangle

ABCD,

points

F

and

G

lie on

\overline{AB}

so that

AF = FG = GB

and

E

is the midpoint of

\overline{DC}.

Also,

\overline{AC}

intersects

\overline{EF}

at

H

and

\overline{EG}

at

J.

The area of rectangle

ABCD

is

70.

Find the area of triangle

EHJ.

\dfrac{5}{2}

\dfrac{35}{12}

3

\dfrac{7}{2}

\dfrac{35}{8}

Respuesta: C

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

El triángulo

EFG

tiene base

\dfrac{1}{3}AB

y la altura completa, así que su área es

\dfrac{1}{6}

del rectángulo

Triangle

EFG

has base

\dfrac{1}{3}AB

and the full height, so its area is

\dfrac{1}{6}

of the rectangle

Pista grande:

Usa

EC \parallel AB

para obtener

\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}

y

\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}

a partir de triángulos semejantes

Use

EC \parallel AB

to get

\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}

and

\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}

from similar triangles

Solución:

El triángulo

EFG

tiene base

FG = \dfrac{1}{3}AB

y altura igual a la altura del rectángulo, así que su área es

\dfrac{1}{6}(70) = \dfrac{35}{3}.

Como

EC \parallel AF,

los triángulos

AFH

y

CEH

son semejantes con razón

\dfrac{EC}{AF} = \dfrac{3}{2},

así que

\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}.

De la misma manera

\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}.

Entonces

\dfrac{[EHJ]}{[EFG]}

= \dfrac{EH}{EF}\cdot\dfrac{EJ}{EG}

= \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{7}

= \dfrac{9}{35},

dando

[EHJ] = \dfrac{9}{35}\cdot\dfrac{35}{3} = 3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Triangle

EFG

has base

FG = \dfrac{1}{3}AB

and height equal to the rectangle’s height, so its area is

\dfrac{1}{6}(70) = \dfrac{35}{3}.

Because

EC \parallel AF,

triangles

AFH

and

CEH

are similar with ratio

\dfrac{EC}{AF} = \dfrac{3}{2},

so

\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}.

Likewise

\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}.

Then

\dfrac{[EHJ]}{[EFG]}

= \dfrac{EH}{EF}\cdot\dfrac{EJ}{EG}

= \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{7}

= \dfrac{9}{35},

giving

[EHJ] = \dfrac{9}{35}\cdot\dfrac{35}{3} = 3.

Thus, the correct answer is C.