2000 AMC 12 Problema 17

Question

Una circunferencia con centro en

O

tiene radio

1

y contiene al punto

A.

El segmento

AB

es tangente a la circunferencia en

A

y

\angle AOB = \theta.

Si el punto

C

está en

\overline{OA}

y

BC

biseca

\angle ABO,

¿cuánto vale

OC

?

A circle centered at

O

has radius

1

and contains the point

A.

Segment

AB

is tangent to the circle at

A

and

\angle AOB = \theta.

If point

C

lies on

\overline{OA}

and

BC

bisects

\angle ABO,

then what is

OC?

\sec^2\theta - \tan\theta

\dfrac{1}{2}

\dfrac{\cos^2\theta}{1 + \sin\theta}

\dfrac{1}{1 + \sin\theta}

\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}

Respuesta: D

Conceptos:teorema de la bisectriz recta tangente trigonometría

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Como

OA = 1

y

\angle OAB = 90^\circ,

tenemos

BA = \tan\theta

y

OB = \sec\theta

.

Since

OA = 1

and

\angle OAB = 90^\circ,

we have

BA = \tan\theta

and

OB = \sec\theta

Pista grande:

La bisectriz da

\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA},

y

OC + CA = OA = 1

.

The bisector gives

\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA},

and

OC + CA = OA = 1

Solución:

Como

OA = 1

y

AB

es tangente en

A,

el ángulo

OAB

es recto, así que

BA = \tan\theta, \qquad OB = \sec\theta.

Como

BC

biseca

\angle ABO,

el teorema de la bisectriz da

\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA}.

Usando

OC + CA = OA = 1,

\begin{aligned} OC &= \frac{OB}{OB + BA} \\ &= \frac{\sec\theta}{\sec\theta + \tan\theta}. \end{aligned}

Al multiplicar numerador y denominador por

\cos\theta

obtenemos

OC = \dfrac{1}{1 + \sin\theta}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because

OA = 1

and

AB

is tangent at

A,

angle

OAB

is right, so

BA = \tan\theta, \qquad OB = \sec\theta.

Since

BC

bisects

\angle ABO,

the angle bisector theorem gives

\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA}.

Using

OC + CA = OA = 1,

\begin{aligned} OC &= \frac{OB}{OB + BA} \\ &= \frac{\sec\theta}{\sec\theta + \tan\theta}. \end{aligned}

Multiplying numerator and denominator by

\cos\theta

gives

OC = \dfrac{1}{1 + \sin\theta}.

Thus, the correct answer is D.

2000 AMC 12 Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años