1999 AMC 12 Problema 22

Question

Las gráficas de

y = -|x - a| + b

y

y = |x - c| + d

se intersecan en los puntos

(2, 5)

y

(8, 3).

Halla

a + c.

The graphs of

y = -|x - a| + b

and

y = |x - c| + d

intersect at points

(2, 5)

and

(8, 3).

Find

a + c.

7

8

10

13

18

Respuesta: C

Conceptos:valor absoluto geometría analítica punto medio

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

La primera gráfica alcanza su máximo en

(a, b);

la segunda su mínimo en

(c, d)

.

The first graph peaks at

(a, b);

the second bottoms out at

(c, d)

Pista grande:

Reescribe la ecuación de intersección como

|x-a|+|x-c|=b-d

y usa la simetría.

Rewrite the intersection equation as

|x-a|+|x-c|=b-d

and use symmetry

Solución:

En una intersección,

-|x-a|+b=|x-c|+d,

o bien

|x-a|+|x-c|=b-d.

Como hay dos intersecciones aisladas, estas quedan en lados opuestos del intervalo de extremos

a

y

c.

Las dos soluciones son simétricas respecto de

x=\tfrac{a+c}{2}.

Sus coordenadas

x

son

2

y

8,

así que

a+c=2+8=10.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

At an intersection,

-|x-a|+b=|x-c|+d,

or

|x-a|+|x-c|=b-d.

Because there are two isolated intersections, they lie on opposite sides of the interval with endpoints

a

and

c.

The two solutions are symmetric about

x=\tfrac{a+c}{2}.

Their

x

-coordinates are

2

and

8,

so

a+c=2+8=10.

Thus, the correct answer is C.