Question

Las gráficas de $y = -|x - a| + b$ y $y = |x - c| + d$ se intersecan en los puntos $(2, 5)$ y $(8, 3).$ Halla $a + c.$

The graphs of $y = -|x - a| + b$ and $y = |x - c| + d$ intersect at points $(2, 5)$ and $(8, 3).$ Find $a + c.$

$7$

$8$

$10$

$13$

$18$

Respuesta: C

Conceptos:valor absoluto geometría analítica punto medio

Nivel de dificultad: 1740

Solución:

La primera gráfica es un ángulo recto invertido con vértice $-|x-a|+b=|x-c|+d,$ y la segunda es un ángulo recto hacia arriba con vértice $a$ Como cada una consta de dos rectas de pendiente $c.$ los cuatro puntos $x=\tfrac{a+c}{2}.$ son, en orden, los vértices de un rectángulo. $x$ $2$ $8,$ $a+c=2+8=10.$ $|x-a|+|x-c|=b-d.$

Las diagonales de un rectángulo comparten punto medio, así que dando Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

At an intersection, $-|x-a|+b=|x-c|+d,$ or $|x-a|+|x-c|=b-d.$ Because there are two isolated intersections, they lie on opposite sides of the interval with endpoints $a$ and $c.$ The two solutions are symmetric about $x=\tfrac{a+c}{2}.$ Their $x$ -coordinates are $2$ and $8,$ so $a+c=2+8=10.$

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1740

Solución:

El Problema 22 en otros años