1994 AMC 12 Problema 15

Question

¿Para cuántos valores de

n

en

\{1,2,3,\ldots,100\}

es impar la cifra de las decenas de

n^2

?

For how many

n

in

\{1,2,3,\ldots,100\}

is the tens digit of

n^2

odd?

10

20

30

40

50

Respuesta: B

Conceptos:squares modulo 100 decimal digits

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

La paridad de la cifra de las decenas de

n^2

depende solo de la cifra de las unidades de

n

The parity of the tens digit of

n^2

depends only on the units digit of

n

Pista grande:

Examina los cuadrados de las diez cifras posibles de las unidades

Check the squares of the ten possible units digits

Solución:

Escribe

n=10a+b.

Módulo

100,

n^2\equiv20ab+b^2.

El término

20ab

cambia la cifra de las decenas en una cantidad par, así que solo importa la cifra de las decenas de

b^2

. Entre

b=0,1,\ldots,9,

esta es impar únicamente para

b=4

y

b=6.

Cada cifra de las unidades aparece

10

veces de

1

a

100,

lo que da

2\cdot10=20.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write

n=10a+b.

Modulo

100,

n^2\equiv20ab+b^2.

The term

20ab

changes the tens digit by an even amount, so only the tens digit of

b^2

matters. Among

b=0,1,\ldots,9,

it is odd only for

b=4

and

b=6.

Each units digit occurs

10

times from

1

through

100,

giving

2\cdot10=20.

Thus the correct answer is B.