1986 AMC 12 Problema 16

Question

En

\triangle ABC,

AB=8,

BC=7,

CA=6

y el lado

BC

se prolonga, como muestra la figura, hasta un punto

P

de modo que

\triangle PAB

es semejante a

\triangle PCA.

La longitud de

PC

es

In

\triangle ABC,

AB=8,

BC=7,

CA=6

and side

BC

is extended, as shown in the figure, to a point

P

so that

\triangle PAB

is similar to

\triangle PCA.

The length of

PC

is

7

8

9

10

11

Respuesta: C

Conceptos:similar triangles proportion segment addition

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Usa el orden de los vértices en

\triangle PAB\sim\triangle PCA

para emparejar los lados correspondientes

Use the vertex order in

\triangle PAB\sim\triangle PCA

to match corresponding sides

Pista grande:

Sea

PC=t

y usa tanto

PB=PC+7

como la razón de semejanza repetida

Set

PC=t

and use both

PB=PC+7

and the repeated similarity ratio

Solución:

El orden indicado en la semejanza da

\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}=\frac43.

Sea

PC=t.

Entonces

PA=\frac{4t}{3}

y

PB=\frac{16t}{9}.

Como

PB=PC+CB=t+7,

\frac{16t}{9}=t+7,

de donde

t=9.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The stated order of similarity gives

\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}=\frac43.

Let

PC=t.

Then

PA=\frac{4t}{3}

and

PB=\frac{16t}{9}.

Since

PB=PC+CB=t+7,

\frac{16t}{9}=t+7,

which gives

t=9.

Thus the correct answer is C.