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1983 AMC 12 Problema 10

Intenta el Problema 10 del 1983 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1983 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

El segmento ABAB es a la vez un diámetro de un círculo de radio 11 y un lado de un triángulo equilátero ABC.ABC. El círculo también corta ACAC y BCBC en los puntos DD y E,E, respectivamente. La longitud de AEAE es
Segment ABAB is both a diameter of a circle of radius 11 and a side of an equilateral triangle ABC.ABC. The circle also intersects ACAC and BCBC at points DD and E,E, respectively. The length of AEAE is
32\frac32
53\frac53
32\frac{\sqrt3}{2}
3\sqrt3
2+32\frac{2+\sqrt3}{2}
Respuesta: D
Conceptos:círculoángulo inscritotriángulo equiláterotriángulo rectángulo especial
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
Como ABAB es un diámetro, ∠AEB\angle AEB es un ángulo recto
Because ABAB is a diameter, ∠AEB\angle AEB is a right angle
Pista grande:
El triángulo ABEABE es un triángulo 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ con hipotenusa AB=2AB=2
Triangle ABEABE is a 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ triangle with hypotenuse AB=2AB=2
Solución:
Como EE está en el círculo de diámetro AB,AB, ∠AEB=90∘.\angle AEB=90^\circ. Además, ∠ABE=60∘\angle ABE=60^\circ porque ABCABC es equilátero. Por tanto, ABEABE es un triángulo 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ con hipotenusa AB=2,AB=2, así que AE=3.AE=\sqrt3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Since EE is on the circle with diameter AB,AB, ∠AEB=90∘.\angle AEB=90^\circ. Also ∠ABE=60∘\angle ABE=60^\circ because ABCABC is equilateral. Thus ABEABE is a 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ triangle with hypotenuse AB=2,AB=2, so AE=3.AE=\sqrt3.
Therefore, the correct answer is D.
Problema 9#9
Examen completo
Problema 11#11

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