Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

1982 AMC 12 Problema 10

Intenta el Problema 10 del 1982 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1982 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

En el diagrama adjunto, BOBO biseca ∠CBA,\angle CBA, COCO biseca ∠ACB,\angle ACB, y MNMN es paralela a BC.BC. Si AB=12,AB=12, BC=24,BC=24, y AC=18,AC=18, entonces el perímetro de △AMN\triangle AMN es
In the adjoining diagram, BOBO bisects ∠CBA,\angle CBA, COCO bisects ∠ACB,\angle ACB, and MNMN is parallel to BC.BC. If AB=12,AB=12, BC=24,BC=24, and AC=18,AC=18, then the perimeter of △AMN\triangle AMN is
3030
3333
3636
3939
4242
Respuesta: A
Conceptos:semejanzacircunferencia inscrita, incentro e inradioFórmula de Herónperímetro
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:
Como OO es el incentro, su distancia a BCBC es el inradio
Because OO is the incenter, its distance from BCBC is the inradius
Pista grande:
Compara la altura de △AMN\triangle AMN con la altura de △ABC\triangle ABC
Compare the altitude of △AMN\triangle AMN with the altitude of △ABC\triangle ABC
Solución:
Los lados 12,12, 18,18, 2424 tienen semiperímetro 2727 y área 27⋅15⋅9⋅3=2715, \sqrt{27\cdot15\cdot9\cdot3}=27\sqrt{15}, así que el inradio es r=15.r=\sqrt{15}. Tomando BCBC como base, la altura es h=2(2715)24=9154.h=\frac{2(27\sqrt{15})}{24}=\frac{9\sqrt{15}}{4}. Por tanto, la razón de semejanza de △ABC\triangle ABC a △AMN\triangle AMN es 1−rh=1−49=59.1-\frac{r}{h}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}. Su perímetro es (59)(12+18+24)=30.(\frac{5}{9})(12+18+24)=30.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The sides 12,12, 18,18, 2424 have semiperimeter 2727 and area 27⋅15⋅9⋅3=2715, \sqrt{27\cdot15\cdot9\cdot3}=27\sqrt{15}, so the inradius is r=15.r=\sqrt{15}. Taking BCBC as base, the altitude is h=2(2715)24=9154.h=\frac{2(27\sqrt{15})}{24}=\frac{9\sqrt{15}}{4}. Thus the similarity scale from △ABC\triangle ABC to △AMN\triangle AMN is 1−rh=1−49=59.1-\frac{r}{h}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}. Its perimeter is (59)(12+18+24)=30.(\frac{5}{9})(12+18+24)=30.
Therefore, the correct answer is A.
Problema 9#9
Examen completo
Problema 11#11

El Problema 10 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B