2022 AIME I Problema 1

Question

Los polinomios cuadráticos

P(x)

y

Q(x)

tienen coeficientes principales

2

y

-2,

respectivamente. Las gráficas de ambos polinomios pasan por los dos puntos

(16, 54)

y

(20, 53).

Halla

P(0) + Q(0).

Quadratic polynomials

P(x)

and

Q(x)

have leading coefficients of

2

and

-2,

respectively. The graphs of both polynomials pass through the two points

(16, 54)

and

(20, 53).

Find

P(0) + Q(0).

Respuesta

Respuesta: 116

Conceptos:polinomio ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Considera

R(x) = P(x) + Q(x):

los términos cuadráticos se cancelan, así que

R

es lineal

Consider

R(x) = P(x) + Q(x):

the quadratic terms cancel, so

R

is linear

Pista grande:

R

pasa por

(16, 108)

y

(20, 106);

extiende esa recta de vuelta hasta

x = 0

R

passes through

(16, 108)

and

(20, 106);

extend that line back to

x = 0

Solución:

Sea

R(x) = P(x) + Q(x).

Los coeficientes principales

2

y

-2

se cancelan, así que

R

es una función lineal. Como ambas gráficas pasan por

(16, 54)

y

(20, 53),

obtenemos

R(16) = 108

y

R(20) = 106.

La pendiente de

R

es

\frac{106 - 108}{20 - 16} = -\frac{1}{2},

así que

\begin{aligned} P(0) + Q(0) &= R(0) \\ &= R(16) + 16 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 108 + 8 = 116. \end{aligned}

Let

R(x) = P(x) + Q(x).

The leading coefficients

2

and

-2

cancel, so

R

is a linear function. Since both graphs pass through

(16, 54)

and

(20, 53),

we get

R(16) = 108

and

R(20) = 106.

The slope of

R

is

\frac{106 - 108}{20 - 16} = -\frac{1}{2},

so

\begin{aligned} P(0) + Q(0) &= R(0) \\ &= R(16) + 16 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 108 + 8 = 116. \end{aligned}