2003 AIME I Problema 1

Question

Dado que

\frac{((3!)!)!}{3!} = k \cdot n!,

donde

k

y

n

son enteros positivos y

n

es lo más grande posible, halla

k + n.

Given that

\frac{((3!)!)!}{3!} = k \cdot n!,

where

k

and

n

are positive integers and

n

is as large as possible, find

k + n.

Respuesta

Respuesta: 839

Conceptos:factorial acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Calcula los factoriales interiores:

3! = 6,

así que la expresión es

\frac{720!}{6}

.

Compute the inner factorials:

3! = 6,

so the expression is

\frac{720!}{6}

Pista grande:

Escribe

720! = 720 \cdot 719!

y observa que

n = 720

haría que

k \cdot n!

fuera demasiado grande.

Write

720! = 720 \cdot 719!

and note that

n = 720

would make

k \cdot n!

too large

Solución:

Como

3! = 6

y

6! = 720,

la expresión es

\begin{aligned} \frac{((3!)!)!}{3!} &= \frac{720!}{6} \\ &= \frac{720 \cdot 719!}{6} \\ &= 120 \cdot 719!. \end{aligned}

Si

n

fuera

720

o más, entonces

k \cdot n! \ge 720!,

lo que supera

\frac{720!}{6}.

Así que el mayor valor posible de

n

es

719,

que se logra con

k = 120,

y

k + n = 120 + 719 = 839.

Since

3! = 6

and

6! = 720,

the expression is

\begin{aligned} \frac{((3!)!)!}{3!} &= \frac{720!}{6} \\ &= \frac{720 \cdot 719!}{6} \\ &= 120 \cdot 719!. \end{aligned}

If

n

were

720

or more, then

k \cdot n! \ge 720!,

which exceeds

\frac{720!}{6}.

So the largest possible value of

n

is

719,

achieved with

k = 120,

and

k + n = 120 + 719 = 839.