Halla (log_2 x)^2 si log_2(log_8 x)=log_8(log_2 x).

1988 AIME Problema 3 — Solución

Intenta el Problema 3 del 1988 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1988 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Halla

(\log_2 x)^2

\log_2(\log_8 x)=\log_8(\log_2 x).

Find

(\log_2 x)^2

\log_2(\log_8 x)=\log_8(\log_2 x).

Respuesta

Sea

y=\log_2x

y reescribe cada logaritmo en base

8

usando la base

2

Set

y=\log_2x

and rewrite every base-

8

logarithm in base

2

Resuelve la ecuación lineal resultante para

\log_2 y

Solve the resulting linear equation for

\log_2 y

Sea

y=\log_2x\gt0.

Como

\log_8x=\frac{y}{3},

la ecuación se convierte en

\log_2(\frac{y}{3})=\frac13\log_2y.

Entonces

\frac23\log_2y=\log_23,

así que

y=3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt3.

Por tanto,

(\log_2x)^2=y^2=27.

Put

y=\log_2x\gt0.

Since

\log_8x=\frac{y}{3},

the equation becomes

\log_2(\frac{y}{3})=\frac13\log_2y.

Hence

\frac23\log_2y=\log_23,

y=3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt3.

Therefore

(\log_2x)^2=y^2=27.