2025 AMC 12A 第 24 题

Question

一个半径为

r

的圆被

12

个半径为

1

的圆围住，这些圆与中央圆外切，并且相邻的圆彼此相切，如图所示。那么

r

可以写成

\sqrt{a} + \sqrt{b} + c

，其中

a

，

b

，和

c

是整数。

a + b + c

是多少？

A circle of radius

r

is surrounded by

12

circles of radius

1,

externally tangent to the central circle and sequentially tangent to each other, as shown. Then

r

can be written as

\sqrt{a} + \sqrt{b} + c,

where

a,

b,

and

c

are integers. What is

a + b + c?

3

5

7

9

11

答案：C

知识点：相切圆正多边形三角学

难度评级：2410

小提示：

12

个外圆圆心形成一个外接圆半径为

r + 1

的正

12

边形，相邻圆心距离为

2

The

12

outer centers form a regular

12

-gon of circumradius

r + 1,

with adjacent centers

2

apart

大提示：

所以

2(r + 1)\sin 15^\circ = 2

，且

\dfrac{1}{\sin 15^\circ} = \sqrt{6} + \sqrt{2}

。

So

2(r + 1)\sin 15^\circ = 2,

and

\dfrac{1}{\sin 15^\circ} = \sqrt{6} + \sqrt{2}

解答：

12

个外圆的圆心位于半径为

r + 1

的圆上，形成一个正

12

边形。相邻圆心距离为

2

（两个圆半径都为

1

），它们之间的圆心角为

30^\circ

。

因此

2(r + 1)\sin 15^\circ = 2

，所以

r + 1 = \dfrac{1}{\sin 15^\circ}

。由于

\sin 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

，

r + 1 = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}\text{。}

于是

r = \sqrt{6} + \sqrt{2} - 1

，所以

a + b + c = 6 + 2 - 1 = 7

。

因此，正确答案是 C。

The centers of the

12

outer circles lie on a circle of radius

r + 1,

forming a regular

12

-gon. Adjacent centers are

2

apart (both circles have radius

1

), and the central angle between them is

30^\circ.

Thus

2(r + 1)\sin 15^\circ = 2,

so

r + 1 = \dfrac{1}{\sin 15^\circ}.

Since

\sin 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4},

r + 1 = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}.

Then

r = \sqrt{6} + \sqrt{2} - 1,

so

a + b + c = 6 + 2 - 1 = 7.

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A 第 24 题

答案：C

难度评级：2410

小提示：

大提示：

解答：

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