2025 AMC 12A 第 23 题

Question

若一个正整数不重复使用任何数字，没有数字

0

，并且没有任何数字同时与两个更大的数字相邻，则称它为公平数。例如，

196

，

23

，和

12463

是公平数，但

1546

，

320

，和

34321

不是。共有多少个公平正整数？

Call a positive integer fair if no digit is used more than once, it has no

0

s, and no digit is adjacent to two greater digits. For example,

196,

23,

and

12463

are fair, but

1546,

320,

and

34321

are not fair. How many fair positive integers are there?

511

2584

9841

17711

19682

答案：C

知识点：有限制的排列二项式定理

难度评级：2340

小提示：

公平数没有任何内部数字小于它的两个相邻数字

A fair number has no interior digit smaller than both of its neighbors

大提示：

对选定的数字集合，从大到小构造有效排列，每个新数字放在任一端：

n

个数字有

2^{n-1}

种

Build a valid arrangement of a chosen digit set by placing digits largest-to-smallest, each at either end:

2^{n-1}

ways for

n

digits

解答：

数字互不相同，并且来自

\{1, \ldots, 9\}

，条件“没有数字同时与两个更大的数字相邻”等价于没有内部数字小于它的两个相邻数字。

对固定的

n

个数字，从大到小插入来构造排列；每个新的较小数字必须放在当前排列的两个端点之一，因此有

2^{n-1}

个有效排列。

对所有非空数字子集求和，

\begin{gathered} \sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n-1} \\ = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n} \\ = \frac{3^9 - 1}{2} = \frac{19682}{2} = 9841 \end{gathered}\text{。}

因此，正确答案是 C。

The digits are distinct and drawn from

\{1, \ldots, 9\},

and “no digit adjacent to two greater digits” means no interior digit is smaller than both neighbors.

For a fixed set of

n

digits, build the arrangement by inserting digits from largest to smallest; each new (smaller) digit must go to one of the two ends, giving

2^{n-1}

valid arrangements.

Summing over all nonempty digit subsets,

\begin{gathered} \sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n-1} \\ = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{9}\binom{9}{n}2^{n} \\ = \frac{3^9 - 1}{2} = \frac{19682}{2} = 9841. \end{gathered}

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A 第 23 题

答案：C

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

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