Question

一个直棱锥的底面是边长为 $1$ 的正八边形 $ABCDEFGH$ ，顶点为 $V$ 。线段 $\overline{AV}$ 与 $\overline{DV}$ 垂直。该棱锥高度的平方是多少？

A right pyramid has regular octagon $ABCDEFGH$ with side length $1$ as its base and apex $V.$ Segments $\overline{AV}$ and $\overline{DV}$ are perpendicular. What is the square of the height of the pyramid?

$1$

$\dfrac{1 + \sqrt2}{2}$

$\sqrt2$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{2 + \sqrt2}{3}$

答案：B

知识点：棱锥正多边形立体几何

难度评级：2300

解答：

令 $R$ 为正八边形外接圆半径， $L$ 为每条侧棱长，则 $L^2 = h^2 + R^2$ 。由于 $\angle AVD = 90^\circ$ 有 $AD^2 = 2L^2$ 。

顶点 $A$ 与 $D$ 相隔三步，圆心角为 $135^\circ$ ，所以 $AD^2$ $= 2R^2(1 - \cos 135^\circ)$ $= R^2(2 + \sqrt2)$ 。结合上式得 $R^2(2 + \sqrt2) = 2(h^2 + R^2)$ ，即 $2h^2 = R^2\sqrt2$ 。

边长为 $1$ 的正八边形满足 $R^2 = \dfrac{1}{2\sin^2(22.5^\circ)} = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}$ 。因此 $h^2$ $= \dfrac{R^2\sqrt2}{2}$ $= \dfrac{(2 + \sqrt2)\sqrt2}{4}$ $= \dfrac{2\sqrt2 + 2}{4}$ $= \dfrac{1 + \sqrt2}{2}$ 。

所以正确答案是 B。

Let $R$ be the circumradius of the octagon and $L$ the length of each lateral edge, so $L^2 = h^2 + R^2.$ Since $\angle AVD = 90^\circ,$ $AD^2 = 2L^2.$

Vertices $A$ and $D$ are three steps apart, a central angle of $135^\circ,$ so $AD^2$ $= 2R^2(1 - \cos 135^\circ)$ $= R^2(2 + \sqrt2).$ Setting $R^2(2 + \sqrt2) = 2(h^2 + R^2)$ gives $2h^2 = R^2\sqrt2.$

For a regular octagon of side $1,$ $R^2 = \dfrac{1}{2\sin^2(22.5^\circ)} = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}.$ Therefore $h^2$ $= \dfrac{R^2\sqrt2}{2}$ $= \dfrac{(2 + \sqrt2)\sqrt2}{4}$ $= \dfrac{2\sqrt2 + 2}{4}$ $= \dfrac{1 + \sqrt2}{2}.$

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B 第 23 题

答案：B

难度评级：2300

解答：

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