2024 AMC 12B 第 23 题

Question

一个直棱锥的底面是边长为

1

的正八边形

ABCDEFGH

，顶点为

V

。线段

\overline{AV}

与

\overline{DV}

垂直。该棱锥高度的平方是多少？

A right pyramid has regular octagon

ABCDEFGH

with side length

1

as its base and apex

V.

Segments

\overline{AV}

and

\overline{DV}

are perpendicular. What is the square of the height of the pyramid?

1

\dfrac{1 + \sqrt2}{2}

\sqrt2

\dfrac{3}{2}

\dfrac{2 + \sqrt2}{3}

答案：B

知识点：棱锥正多边形立体几何

难度评级：2300

小提示：

每条侧棱长为

L

，满足

L^2 = h^2 + R^2

，其中

R

是八边形外接圆半径；直角在

V

处给出

AD^2 = 2L^2

。

Each lateral edge has length

L

with

L^2 = h^2 + R^2,

where

R

is the octagon’s circumradius; the right angle at

V

gives

AD^2 = 2L^2

大提示：

A

与

D

相隔三个顶点，圆心角为

135^\circ

，且

AD^2 = R^2(2 + \sqrt2)

；又

R^2 = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}

。解出

h^2

。

A

and

D

are three vertices apart, so the central angle is

135^\circ

and

AD^2 = R^2(2 + \sqrt2);

also

R^2 = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}.

Solve for

h^2

解答：

令

R

为正八边形外接圆半径，

L

为每条侧棱长，则

L^2 = h^2 + R^2

。由于

\angle AVD = 90^\circ

，有

AD^2 = 2L^2

。

顶点

A

与

D

相隔三步，圆心角为

135^\circ

，所以

AD^2

= 2R^2(1 - \cos 135^\circ)

= R^2(2 + \sqrt2)

。结合上式得

R^2(2 + \sqrt2) = 2(h^2 + R^2)

，即

2h^2 = R^2\sqrt2

。

边长为

1

的正八边形满足

R^2 = \dfrac{1}{2\sin^2(22.5^\circ)} = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}

。因此

h^2

= \dfrac{R^2\sqrt2}{2}

= \dfrac{(2 + \sqrt2)\sqrt2}{4}

= \dfrac{2\sqrt2 + 2}{4}

= \dfrac{1 + \sqrt2}{2}

。

所以正确答案是 B。

Let

R

be the circumradius of the octagon and

L

the length of each lateral edge, so

L^2 = h^2 + R^2.

Since

\angle AVD = 90^\circ,

AD^2 = 2L^2.

Vertices

A

and

D

are three steps apart, a central angle of

135^\circ,

so

AD^2

= 2R^2(1 - \cos 135^\circ)

= R^2(2 + \sqrt2).

Setting

R^2(2 + \sqrt2) = 2(h^2 + R^2)

gives

2h^2 = R^2\sqrt2.

For a regular octagon of side

1,

R^2 = \dfrac{1}{2\sin^2(22.5^\circ)} = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}.

Therefore

h^2

= \dfrac{R^2\sqrt2}{2}

= \dfrac{(2 + \sqrt2)\sqrt2}{4}

= \dfrac{2\sqrt2 + 2}{4}

= \dfrac{1 + \sqrt2}{2}.

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B 第 23 题

答案：B

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

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