2024 AMC 12B 第 18 题

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18.

Fibonacci 数定义为

F_1 = 1

、

F_2 = 1

，且对

n \ge 3

，有

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

。求

\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}\text{？}

The Fibonacci numbers are defined by

F_1 = 1,

F_2 = 1,

and

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

for

n \ge 3.

What is

\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?

318

319

320

321

322

答案：B

知识点：斐波那契数列求和

难度评级：1930

小提示：

每项都可化简：

\dfrac{F_{2k}}{F_k}

是整数；先算几项，如

\dfrac{F_2}{F_1} = 1

、

\dfrac{F_4}{F_2} = 3

、

\dfrac{F_6}{F_3} = 4

。

Each term simplifies:

\dfrac{F_{2k}}{F_k}

is an integer; compute the first few, such as

\dfrac{F_2}{F_1} = 1,

\dfrac{F_4}{F_2} = 3,

\dfrac{F_6}{F_3} = 4

大提示：

这些值是 Lucas 数

L_k = 1, 3, 4, 7, 11, \ldots

；求

L_1

到

L_{10}

的和。

These values are the Lucas numbers

L_k = 1, 3, 4, 7, 11, \ldots;

sum

L_1

through

L_{10}

解答：

因为

F_{2k} = F_k L_k

，其中

L_k

为第

k

个 Lucas 数，所以

\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k

。所求和为

\begin{gathered} L_1 + L_2 + \cdots + L_{10} \\ = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 \\ {}+ 29 + 47 + 76 + 123 \\ = 319\text{。} \end{gathered}

等价地，

L_1 + \cdots + L_{10}

= L_{12} - 3

= 322 - 3 = 319

。

所以正确答案是 B。

Since

F_{2k} = F_k L_k

where

L_k

is the

k

th Lucas number, each term

\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k.

The sum is

\begin{gathered} L_1 + L_2 + \cdots + L_{10} \\ = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 \\ {}+ 29 + 47 + 76 + 123 \\ = 319. \end{gathered}

(Equivalently,

L_1 + \cdots + L_{10}

= L_{12} - 3

= 322 - 3 = 319.

)

Thus, the correct answer is B.

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