2024 AMC 12B 第 16 题

Question

16

个人要被分成

4

个不可区分的

4

人委员会。每个委员会有一名主席和一名秘书。不同分配方式数可写为

3^r M

，其中

r

、

M

是正整数，且

M

不被

3

整除。求

r

。

A group of

16

people will be partitioned into

4

indistinguishable

4

-person committees. Each committee will have one chairperson and one secretary. The number of different ways to make these assignments can be written as

3^r M,

where

r

and

M

are positive integers and

M

is not divisible by

3.

What is

r?

5

6

7

8

9

答案：A

知识点：乘法原理勒让德公式

难度评级：1860

小提示：

分配数为

\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!} \cdot 12^4

，因为每个委员会有

4 \cdot 3 = 12

种主席和秘书的选择。

The number of assignments is

\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!} \cdot 12^4,

where each committee contributes

4 \cdot 3 = 12

chair-and-secretary choices

大提示：

只追踪

3

的幂：

16!

给出

3^6

，分母

(4!)^4\,4!

给出

3^5

，

12^4

给出

3^4

Track only powers of

3:

16!

gives

3^6,

the denominator

(4!)^4\,4!

gives

3^5,

and

12^4

gives

3^4

解答：

将

16

人分成

4

个不可区分的

4

人组有

\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!}

种。每个委员会选主席和秘书有

4 \cdot 3 = 12

种选择，贡献因子

12^4

。所以总数为

\dfrac{16!}{(4!)^4\,4!}\cdot 12^4

。

只计数因子

3

：

16!

贡献

\lfloor \frac{16}{3}\rfloor + \lfloor \frac{16}{9}\rfloor = 6

个；分母

(4!)^4\,4!

贡献

4 + 1 = 5

个；而

12^4 = (2^2\cdot 3)^4

贡献

4

个。因此

r = 6 - 5 + 4 = 5

。

所以正确答案是 A。

The number of ways to split

16

people into

4

indistinguishable groups of

4

is

\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!}.

Each committee then chooses a chairperson and a secretary in

4 \cdot 3 = 12

ways, contributing

12^4.

So the total is

\dfrac{16!}{(4!)^4\,4!}\cdot 12^4.

Counting factors of

3:

16!

contributes

\lfloor \frac{16}{3}\rfloor + \lfloor \frac{16}{9}\rfloor = 6.

The denominator

(4!)^4\,4!

contributes

4 + 1 = 5.

And

12^4 = (2^2\cdot 3)^4

contributes

4.

Thus

r = 6 - 5 + 4 = 5.

Thus, the correct answer is A.

2024 AMC 12B 第 16 题

答案：A

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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