Question

$16$ 个人要被分成若干不可区分的 $4$ 人委员会。每个委员会有一名主席和一名秘书。不同分配方式数可写为 $3^r M$ ，其中 $r$ 、 $M$ 是正整数，且 $M$ 不被 $3$ 整除。求 $r$ 。

A group of $16$ people will be partitioned into indistinguishable $4$ -person committees. Each committee will have one chairperson and one secretary. The number of different ways to make these assignments can be written as $3^r M,$ where $r$ and $M$ are positive integers and $M$ is not divisible by $3.$ What is $r?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

答案：A

知识点：乘法原理勒让德公式

难度评级：1860

解答：

将 $16$ 人分成 $4$ 个不可区分的 $4$ 人组有 $\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!}$ 种。每个委员会选主席和秘书有 $4 \cdot 3 = 12$ 种选择，贡献因子 $12^4$ 。所以总数为 $\dfrac{16!}{(4!)^4\,4!}\cdot 12^4$ 。

只计数因子 $3$ ： $16!$ 贡献 $\lfloor 16/3\rfloor + \lfloor 16/9\rfloor = 6$ 个；分母 $(4!)^4\,4!$ 贡献 $4 + 1 = 5$ 个；而 $12^4 = (2^2\cdot 3)^4$ 贡献 $4$ 个。因此 $r = 6 - 5 + 4 = 5$ 。

所以正确答案是 A。

The number of ways to split $16$ people into $4$ indistinguishable groups of $4$ is $\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!}.$ Each committee then chooses a chairperson and a secretary in $4 \cdot 3 = 12$ ways, contributing $12^4.$ So the total is $\dfrac{16!}{(4!)^4\,4!}\cdot 12^4.$

Counting factors of $3:$ $16!$ contributes $\lfloor 16/3\rfloor + \lfloor 16/9\rfloor = 6.$ The denominator $(4!)^4\,4!$ contributes $4 + 1 = 5.$ And $12^4 = (2^2\cdot 3)^4$ contributes $4.$ Thus $r = 6 - 5 + 4 = 5.$

Thus, the correct answer is A.

2024 AMC 12B 第 16 题

答案：A

难度评级：1860

解答：

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