2021 AMC 12B Spring 第 18 题

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18.

设

z

是满足

12|z|^2

=2|z+2|^2+|z^2+1|^2+31

的复数。

z+\dfrac{6}{z}

的值是多少？

Let

z

be a complex number satisfying

12|z|^2

=2|z+2|^2+|z^2+1|^2+31.

What is the value of

z+\dfrac{6}{z}?

-2

-1

\dfrac{1}{2}

1

4

答案：A

知识点：复数配方法

难度评级：1940

小提示：

令

p=|z|^2

，

s=z+\bar z

；用

|w|^2=w\bar w

展开每个模长平方

Let

p=|z|^2

and

s=z+\bar z;

expand every modulus using

|w|^2=w\bar w

大提示：

方程会化简为

(p-6)^2+(s+2)^2=0

The equation collapses to

(p-6)^2+(s+2)^2=0

解答：

令

p=|z|^2=z\bar z

，

s=z+\bar z

。则

|z+2|^2=p+2s+4

，且

|z^2+1|^2

=p^2+(z^2+\bar z^2)+1

=p^2+(s^2-2p)+1

。

代入得

12p=2(p+2s+4)

+p^2+s^2-2p+1+31

，化简为

p^2-12p+s^2+4s+40=0

。

配方得

(p-6)^2+(s+2)^2=0

，所以

p=6

，

s=-2

。

于是

z+\dfrac{6}{z}=z+\dfrac{6\bar z}{|z|^2}=z+\bar z=-2

。

所以正确答案是 A。

Let

p=|z|^2=z\bar z

and

s=z+\bar z.

Then

|z+2|^2=p+2s+4,

and

|z^2+1|^2

=p^2+(z^2+\bar z^2)+1

=p^2+(s^2-2p)+1.

Substituting,

12p=2(p+2s+4)

+p^2+s^2-2p+1+31,

which simplifies to

p^2-12p+s^2+4s+40=0.

Completing the square gives

(p-6)^2+(s+2)^2=0,

so

p=6

and

s=-2.

Then

z+\dfrac{6}{z}=z+\dfrac{6\bar z}{|z|^2}=z+\bar z=-2.

Thus, the correct answer is A.

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