2019 AMC 12B 第 18 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

四棱锥

ABCDE

的底面

ABCD

是边长为

3

cm 的正方形，高

\overline{AE}

垂直于底面且长为

6

cm。点

P

在

\overline{BE}

上从

B

到

E

的三分之一处；点

Q

在

\overline{DE}

上从

D

到

E

的三分之一处；点

R

在

\overline{CE}

上从

C

到

E

的三分之二处。

\triangle PQR

的面积是多少平方厘米？

Square pyramid

ABCDE

has base

ABCD,

which measures

3

cm on a side, and altitude

\overline{AE}

perpendicular to the base, which measures

6

cm. Point

P

lies on

\overline{BE},

one third of the way from

B

to

E;

point

Q

lies on

\overline{DE},

one third of the way from

D

to

E;

and point

R

lies on

\overline{CE},

two thirds of the way from

C

to

E.

What is the area, in square centimeters, of

\triangle PQR?

\dfrac{3\sqrt2}{2}

\dfrac{3\sqrt3}{2}

2\sqrt2

2\sqrt3

3\sqrt2

答案：C

知识点：立体几何向量三角形面积

难度评级：1620

小提示：

设

A=(0,0,0)

，并令

E=(0,0,6)

在

A

的上方

Set

A=(0,0,0)

with

E=(0,0,6)

above

A

大提示：

求出

P,Q,R

，再计算

\dfrac12\bigl|\vec{PQ}\times\vec{PR}\bigr|

。

Find

P,Q,R,

then compute

\dfrac12\bigl|\vec{PQ}\times\vec{PR}\bigr|

解答：

取

A=(0,0,0)

，

\ B=(3,0,0)

，

\ C=(3,3,0)

，

\ D=(0,3,0)

，

\ E=(0,0,6)

。则

\begin{gathered} P=(2,0,2), \\ Q=(0,2,2), \\ R=(1,1,4) \end{gathered}\text{。}

所以

\vec{PQ}=(-2,2,0)

，

\vec{PR}=(-1,1,2)

，从而

\vec{PQ}\times\vec{PR}=(4,4,0)

。

面积为

\dfrac12\bigl|(4,4,0)\bigr|=\dfrac12\cdot4\sqrt2=2\sqrt2

。

所以正确答案是 C。

Place

A=(0,0,0),

\ B=(3,0,0),

\ C=(3,3,0),

\ D=(0,3,0),

\ E=(0,0,6).

Then

\begin{gathered} P=(2,0,2), \\ Q=(0,2,2), \\ R=(1,1,4). \end{gathered}

So

\vec{PQ}=(-2,2,0)

and

\vec{PR}=(-1,1,2),

giving

\vec{PQ}\times\vec{PR}=(4,4,0).

The area is

\dfrac12\bigl|(4,4,0)\bigr|=\dfrac12\cdot4\sqrt2=2\sqrt2.

Thus, C is the correct answer.

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