Question

令 $\lfloor x\rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。有多少个实数 $x$ 满足方程 $x^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x$ ？

Let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to $x.$ How many real numbers $x$ satisfy the equation $x^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x?$

$197$

$198$

$199$

$200$

$201$

答案：C

知识点：取整函数交点计数

难度评级：2500

解答：

令 $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ 方程化为 $x^2=10{,}000\{x\}$ 所以 $\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}$ 因为 $0\le\{x\}\lt1$ 必须有 $0\le x^2\lt10{,}000$ 即 $-100\lt x\lt100$ 。

在每个区间 $[k,k+1)$ 上，写成 $x=k+t$ ，其中 $0\le t\lt1$ 。方程变为 $(k+t)^2-10{,}000t=0$ ，其左边从非负值严格递减到负值，所以恰有一个零点。这些区间对应 $-100\le k\le98$ 因而共有 $t=0$ 个解。 $k^2\ge0$ ， $t$ $1$ $(k+1)^2-10{,}000\lt0$ 。 $98-(-100)+1=199$

所以正确答案是 C。

Let $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor.$ The equation becomes $x^2=10{,}000\{x\},$ so $\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}.$ Since $0\le\{x\}\lt1,$ we need $0\le x^2\lt10{,}000,$ i.e. $-100\lt x\lt100.$

On each interval $[k,k+1),$ write $x=k+t$ with $0\le t\lt1.$ The equation becomes $(k+t)^2-10{,}000t=0.$ For $-100\le k\le98,$ the left side is strictly decreasing; at $t=0$ it is $k^2\ge0,$ while as $t$ approaches $1$ it approaches $(k+1)^2-10{,}000\lt0.$ Thus each of these intervals contains exactly one solution. There are $98-(-100)+1=199$ such intervals.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 24 题

答案：C

难度评级：2500

解答：

其他年份的第 24 题