2018 AMC 12B 第 24 题

Question

令

\lfloor x\rfloor

表示小于或等于

x

的最大整数。有多少个实数

x

满足方程

x^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x

？

Let

\lfloor x\rfloor

denote the greatest integer less than or equal to

x.

How many real numbers

x

satisfy the equation

x^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x?

197

198

199

200

201

答案：C

知识点：取整函数交点计数

难度评级：2500

小提示：

将方程改写为

x^2=10{,}000\,(x-\lfloor x\rfloor)

=10{,}000\{x\}

。

Rewrite the equation as

x^2=10{,}000\,(x-\lfloor x\rfloor)

=10{,}000\{x\}

大提示：

因此

0\le\dfrac{x^2}{10{,}000}\lt1

，所以

-100\lt x\lt100

；每个单位区间内数一个解。

Then

0\le\dfrac{x^2}{10{,}000}\lt1,

so

-100\lt x\lt100;

count one solution per unit interval

解答：

令

\{x\}=x-\lfloor x\rfloor

。方程化为

x^2=10{,}000\{x\}

，所以

\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}

。因为

0\le\{x\}\lt1

，必须有

0\le x^2\lt10{,}000

，即

-100\lt x\lt100

。

在每个区间

[k,k+1)

上，写成

x=k+t

，其中

0\le t\lt1

。方程变为

(k+t)^2-10{,}000t=0

。当

-100\le k\le98

时，左边严格递减：在

t=0

处它等于

k^2\ge0

，而当

t

趋于

1

时它趋于

(k+1)^2-10{,}000\lt0

。因此这些区间中每一个都恰好含有一个解。这样的区间共有

98-(-100)+1=199

个。

所以正确答案是 C。

Let

\{x\}=x-\lfloor x\rfloor.

The equation becomes

x^2=10{,}000\{x\},

so

\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}.

Since

0\le\{x\}\lt1,

we need

0\le x^2\lt10{,}000,

i.e.

-100\lt x\lt100.

On each interval

[k,k+1),

write

x=k+t

with

0\le t\lt1.

The equation becomes

(k+t)^2-10{,}000t=0.

For

-100\le k\le98,

the left side is strictly decreasing; at

t=0

it is

k^2\ge0,

while as

t

approaches

1

it approaches

(k+1)^2-10{,}000\lt0.

Thus each of these intervals contains exactly one solution. There are

98-(-100)+1=199

such intervals.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 24 题

答案：C

难度评级：2500

小提示：

大提示：

解答：

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