2018 AMC 12B 第 19 题

Question

Mary 选择了一个偶数

4

位数

n

。她从左到右按递增顺序写下

n

的所有因数：

1

，

2

，

\ldots

，

\tfrac{n}{2}

，

n

。某一时刻 Mary 写下了

323

作为

n

的一个因数。写在

323

右边的下一个因数的最小可能值是多少？

Mary chose an even

4

-digit number

n.

She wrote down all the divisors of

n

in increasing order from left to right:

1,

2,

\ldots,

\tfrac{n}{2},

n.

At some moment Mary wrote

323

as a divisor of

n.

What is the smallest possible value of the next divisor written to the right of

323?

324

330

340

361

646

答案：C

知识点：整除性最大公约数质因数分解

难度评级：2170

小提示：

分解

323=17\cdot19

。

Factor

323=17\cdot19

大提示：

若下一个因数

d

与

323

互质，则

n\ge323d\gt9999

；所以

d

与

323

有公共质因数。

If the next divisor

d

were coprime to

323,

then

n\ge323d\gt9999;

so

d

shares a prime with

323

解答：

设

d

是

323

后面的下一个因数。若

\gcd(d,323)=1

，则

323d

整除

n

，迫使

n\ge323d\gt323^2\gt9999

，不可能是

4

位数。因此

d

与

323=17\cdot19

有公共质因数。

于是

d-323\ge\gcd(d,323)\ge17

，所以

d\ge340

。确实，

d=340=17\cdot20

可由

n=17\cdot19\cdot20=6460

实现，而这是偶数且为

4

位数。

所以正确答案是 C。

Let

d

be the next divisor after

323.

If

\gcd(d,323)=1,

then

323d

divides

n,

forcing

n\ge323d\gt323^2\gt9999,

impossible for a

4

-digit number. So

d

shares a prime factor with

323=17\cdot19.

Then

d-323\ge\gcd(d,323)\ge17,

so

d\ge340.

Indeed

d=340=17\cdot20

occurs for

n=17\cdot19\cdot20=6460,

which is even and

4

-digit.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 19 题

答案：C

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题