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2018 AMC 12A 第 23 题

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23.

在 △PAT\triangle PAT 中，∠P=36∘\angle P = 36^\circ，∠A=56∘\angle A = 56^\circ，且 PA=10PA = 10。点 UU 和 GG 分别在边 TP‾\overline{TP} 和 TA‾\overline{TA} 上，使得 PU=AG=1PU = AG = 1。设 MM 和 NN 分别为线段 PA‾\overline{PA} 和 UG‾\overline{UG} 的中点。直线 MNMN 和 PAPA 所成锐角的度数是多少？
In △PAT,\triangle PAT, ∠P=36∘,\angle P = 36^\circ, ∠A=56∘,\angle A = 56^\circ, and PA=10.PA = 10. Points UU and GG lie on sides TP‾\overline{TP} and TA‾,\overline{TA}, respectively, so that PU=AG=1.PU = AG = 1. Let MM and NN be the midpoints of segments PA‾\overline{PA} and UG‾,\overline{UG}, respectively. What is the degree measure of the acute angle formed by lines MNMN and PA?PA?
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8080
答案：E
知识点：导角中点平行四边形
难度评级：2370
小提示：
延长 PNPN 到 QQ，使 PN=NQPN = NQ；则 UPGQUPGQ 是平行四边形，所以 GQ∥PTGQ \parallel PT 且 GQ=PU=AGGQ = PU = AG。
Extend PNPN to QQ with PN=NQ;PN = NQ; then UPGQUPGQ is a parallelogram, so GQ∥PTGQ \parallel PT and GQ=PU=AGGQ = PU = AG
大提示：
三角形 QGAQGA 是等腰三角形，且 MNMN 是三角形 QPAQPA 的中位线，所以 ∠NMA=∠QAP\angle NMA = \angle QAP。
Triangle QGAQGA is isosceles, and MNMN is a midline of triangle QPA,QPA, so ∠NMA=∠QAP\angle NMA = \angle QAP
解答：
将 PNPN 经过 NN 延长到 QQ，使 PN=NQPN = NQ。 因为 NN 是 UGUG 和 PQPQ 的中点，四边形 UPGQUPGQ 是平行四边形，所以 GQ∥PTGQ \parallel PT 且 GQ=PU=1=AGGQ = PU = 1 = AG。 因此 ∠QGA\angle QGA =180∘−∠T= 180^\circ - \angle T =∠P+∠A= \angle P + \angle A =36∘+56∘=92∘= 36^\circ + 56^\circ = 92^\circ， 等腰三角形 QGAQGA 给出 ∠QAG=12(180∘−92∘)=44∘\angle QAG = \tfrac12(180^\circ - 92^\circ) = 44^\circ。
因为 M,NM, N 是中点，MNMN 是 △QPA\triangle QPA 的中位线，所以 MN∥AQMN \parallel AQ，并且 ∠NMP=∠QAP=∠QAG+∠GAP=44∘+56∘=100∘。 \begin{aligned} \angle NMP &= \angle QAP \\ &= \angle QAG + \angle GAP \\ &= 44^\circ + 56^\circ = 100^\circ\text{。} \end{aligned} 因此直线 MNMN 和 PAPA 所成锐角为 180∘−100∘=80∘180^\circ - 100^\circ = 80^\circ。
所以正确答案是 E。
Extend PNPN through NN to QQ with PN=NQ.PN = NQ. Since NN is the midpoint of UGUG and of PQ,PQ, the quadrilateral UPGQUPGQ is a parallelogram, so GQ∥PTGQ \parallel PT and GQ=PU=1=AG.GQ = PU = 1 = AG. Then ∠QGA\angle QGA =180∘−∠T= 180^\circ - \angle T =∠P+∠A= \angle P + \angle A =36∘+56∘=92∘,= 36^\circ + 56^\circ = 92^\circ, and the isosceles triangle QGAQGA gives ∠QAG=12(180∘−92∘)=44∘.\angle QAG = \tfrac12(180^\circ - 92^\circ) = 44^\circ.
Because M,NM, N are midpoints, MNMN is a midline of △QPA,\triangle QPA, so MN∥AQMN \parallel AQ and ∠NMP=∠QAP=∠QAG+∠GAP=44∘+56∘=100∘. \begin{aligned} \angle NMP &= \angle QAP \\ &= \angle QAG + \angle GAP \\ &= 44^\circ + 56^\circ = 100^\circ. \end{aligned} The acute angle between line MNMN and PAPA is therefore 180∘−100∘=80∘.180^\circ - 100^\circ = 80^\circ.
Thus, the correct answer is E.

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