Question

三角形 $ABC$ 中， $AB = 50$ 、 $AC = 10$ ，面积为 $120$ 。设 $D$ 为 $\overline{AB}$ 的中点， $E$ 为 $\overline{AC}$ 的中点。 $\angle BAC$ 的角平分线分别在 $F$ 和 $G$ 处与 $\overline{DE}$ 和 $\overline{BC}$ 相交。四边形 $FDBG$ 的面积是多少？

Triangle $ABC$ with $AB = 50$ and $AC = 10$ has area $120.$ Let $D$ be the midpoint of $\overline{AB},$ and let $E$ be the midpoint of $\overline{AC}.$ The angle bisector of $\angle BAC$ intersects $\overline{DE}$ and $\overline{BC}$ at $F$ and $G,$ respectively. What is the area of quadrilateral $FDBG?$

$60$

$65$

$70$

$75$

$80$

答案：D

知识点：角平分线定理面积比中点

难度评级：1990

解答：

因为 $D$ 和 $E$ 是中点， $\triangle ADE$ 的面积是 $\triangle ABC$ 面积的 $\tfrac14$ 即 $30$ ，所以梯形 $EDBC$ 的面积为 $120 - 30 = 90$ 。

由角平分线定理， $G$ 将 $BC$ 分成 $BG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC$ ，同样 $F$ 将 $DE$ 分成 $DF = \tfrac56 DE$ 。因为 $FDBG$ 和 $EDBC$ 高相同， $FDBG$ 的面积是 $EDBC$ 面积的 $\tfrac56$ ，即 $\tfrac56 \cdot 90 = 75$ 。

所以正确答案是 D。

Since $D$ and $E$ are midpoints, $\triangle ADE$ has $\tfrac14$ the area of $\triangle ABC,$ namely $30,$ so trapezoid $EDBC$ has area $120 - 30 = 90.$

By the Angle Bisector Theorem, $G$ divides $BC$ with $BG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC,$ and likewise $F$ divides $DE$ so that $DF = \tfrac56 DE.$ Because $FDBG$ and $EDBC$ share the same height, the area of $FDBG$ is $\tfrac56$ of the area of $EDBC:$ $\tfrac56 \cdot 90 = 75.$

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12A 第 18 题

答案：D

难度评级：1990

解答：

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