2018 AMC 12A 第 18 题

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18.

三角形

ABC

中，

AB = 50

、

AC = 10

，面积为

120

。设

D

为

\overline{AB}

的中点，

E

为

\overline{AC}

的中点。

\angle BAC

的角平分线分别在

F

和

G

处与

\overline{DE}

和

\overline{BC}

相交。四边形

FDBG

的面积是多少？

Triangle

ABC

with

AB = 50

and

AC = 10

has area

120.

Let

D

be the midpoint of

\overline{AB},

and let

E

be the midpoint of

\overline{AC}.

The angle bisector of

\angle BAC

intersects

\overline{DE}

and

\overline{BC}

at

F

and

G,

respectively. What is the area of quadrilateral

FDBG?

60

65

70

75

80

答案：D

知识点：角平分线定理面积比中点

难度评级：1990

小提示：

因为

D, E

是中点，

[ADE] = \tfrac14 [ABC]

，所以梯形

EDBC

是剩下的

\tfrac34

。

Since

D, E

are midpoints,

[ADE] = \tfrac14 [ABC],

so trapezoid

EDBC

is the remaining

\tfrac34

大提示：

由角平分线定理，角平分线按

AB : AC = 5 : 1

的比例截

DE

和

BC

，使

FDBG

等于

EDBC

的

\tfrac56

。

By the Angle Bisector Theorem the bisector cuts

DE

and

BC

in ratio

AB : AC = 5 : 1,

making

FDBG

equal to

\tfrac56

of

EDBC

解答：

因为

D

和

E

是中点，

\triangle ADE

的面积是

\triangle ABC

面积的

\tfrac14

即

30

，所以梯形

EDBC

的面积为

120 - 30 = 90

。

由角平分线定理，

G

将

BC

分成

BG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC

，同样

F

将

DE

分成

DF = \tfrac56 DE

。因为

FDBG

和

EDBC

高相同，

FDBG

的面积是

EDBC

面积的

\tfrac56

，即

\tfrac56 \cdot 90 = 75

。

所以正确答案是 D。

Since

D

and

E

are midpoints,

\triangle ADE

has

\tfrac14

the area of

\triangle ABC,

namely

30,

so trapezoid

EDBC

has area

120 - 30 = 90.

By the Angle Bisector Theorem,

G

divides

BC

with

BG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC,

and likewise

F

divides

DE

so that

DF = \tfrac56 DE.

Because

FDBG

and

EDBC

share the same height, the area of

FDBG

is

\tfrac56

of the area of

EDBC:

\tfrac56 \cdot 90 = 75.

Thus, the correct answer is D.

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