Question

在 $y = f(x)$ 的图像中， $f(x)$ 是一个 $3$ 次多项式，且图像包含点 $A(2, 4)$ 、 $B(3, 9)$ 和 $C(4, 16)$ 。直线 $AB$ 、 $AC$ 和 $BC$ 分别再次与图像相交于点 $D$ 、 $E$ 和 $F$ 。若 $D$ 、 $E$ 和 $F$ 的 $x$ -坐标之和为 $24$ ，那么 $f(0)$ 是多少？

The graph of $y = f(x),$ where $f(x)$ is a polynomial of degree $3,$ contains points $A(2, 4),$ $B(3, 9),$ and $C(4, 16).$ Lines $AB,$ $AC,$ and $BC$ intersect the graph again at points $D,$ $E,$ and $F,$ respectively, and the sum of the $x$ -coordinates of $D,$ $E,$ and $F$ is $24.$ What is $f(0)?$

$-2$

$0$

$2$

$\dfrac{24}{5}$

$8$

答案：D

知识点：韦达定理多项式

难度评级：2370

解答：

点 $A, B, C$ 都在 $y = x^2$ 上，所以 $g(x) = f(x) - x^2$ 以 $2, 3, 4$ 为根，即 $g(x) = a(x-2)(x-3)(x-4)$ ，其中 $a \ne 0$ 。 $x^3$ 和 $x^2$ 在 $f$ 中的系数分别为 $a$ 和 $1 - 9a$ ，因此由韦达定理， $f(x) - L(x)$ （对任意一次函数 $L$ ）的三个根之和为 $9 - \tfrac1a$ 。直线 $AB, AC, BC$ 与三次曲线相交的三个横坐标集合分别为 $\{2, 3, x_D\}$ 、 $\{2, 4, x_E\}$ 、 $\{3, 4, x_F\}$ ，所以解得 $a = -\tfrac15$ 。因此 $f(x) = x^2$ $- \tfrac15(x-2)(x-3)(x-4)$ ，所以 $f(0) = 0 - \tfrac15(-2)(-3)(-4)$ $= \tfrac{24}{5}$ 。 $\begin{aligned} &x_D + x_E + x_F \\ &\quad {}= 3\left(9 - \tfrac1a\right) \\ &\quad {}- 2(2 + 3 + 4) \\ &\quad {}= 9 - \tfrac3a = 24, \end{aligned}$

所以正确答案是 D。

The points $A, B, C$ lie on $y = x^2,$ so $g(x) = f(x) - x^2$ has roots $2, 3, 4:$ $g(x) = a(x-2)(x-3)(x-4)$ for some $a \ne 0.$ The coefficients of $x^3$ and $x^2$ in $f$ are $a$ and $1 - 9a,$ so by Vieta the three roots of $f(x) - L(x)$ (for any linear $L$ ) sum to $9 - \tfrac1a.$ The lines $AB, AC, BC$ meet the cubic in triples $\{2, 3, x_D\},$ $\{2, 4, x_E\},$ $\{3, 4, x_F\},$ so $\begin{aligned} &x_D + x_E + x_F \\ &\quad {}= 3\left(9 - \tfrac1a\right) \\ &\quad {}- 2(2 + 3 + 4) \\ &\quad {}= 9 - \tfrac3a = 24, \end{aligned}$ giving $a = -\tfrac15.$ Then $f(x) = x^2$ $- \tfrac15(x-2)(x-3)(x-4),$ so $f(0) = 0 - \tfrac15(-2)(-3)(-4)$ $= \tfrac{24}{5}.$

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B 第 23 题

答案：D

难度评级：2370

解答：

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