Question

四边形 $ABCD$ 内接于圆 $O$ ，且边长为 $AB=3$ ， $BC=2$ ， $CD=6$ ， $DA=8$ 。设 $X$ 和 $Y$ 是 $BD$ 上的点，满足 $\dfrac{DX}{BD}=\dfrac{1}{4}$ 且 $\dfrac{BY}{BD}=\dfrac{11}{36}$ 。设 $E$ 是直线 $AX$ 与过 $Y$ 且平行于 $AD$ 的直线的交点。设 $F$ 是直线 $CX$ 与过 $E$ 且平行于 $AC$ 的直线的交点。设 $G$ 是圆 $O$ 上除 $C$ 外还位于直线 $CX$ 上的点。 $XF\cdot XG$ 是多少？

Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in circle $O$ and has sides $AB=3,$ $BC=2,$ $CD=6,$ and $DA=8.$ Let $X$ and $Y$ be points on $BD$ such that $\dfrac{DX}{BD}=\dfrac{1}{4}$ and $\dfrac{BY}{BD}=\dfrac{11}{36}.$ Let $E$ be the intersection of line $AX$ and the line through $Y$ parallel to $AD.$ Let $F$ be the intersection of line $CX$ and the line through $E$ parallel to $AC.$ Let $G$ be the point on circle $O$ other than $C$ that lies on line $CX.$ What is $XF\cdot XG?$

$17$

$\dfrac{59-5\sqrt2}{3}$

$\dfrac{91-12\sqrt3}{4}$

$\dfrac{67-10\sqrt2}{3}$

$18$

答案：A

知识点：相似圆幂余弦定理

难度评级：2520

解答：

因为 $YE\parallel AD$ 且 $EF\parallel AC$ 得到 $\triangle XEY\sim\triangle XAD$ 和 $\triangle XEF\sim\triangle XAC$ ，所以 $\dfrac{XY}{XE}=\dfrac{XD}{XA}$ 且 $\dfrac{XF}{XE}=\dfrac{XC}{XA}$ 。因而 $\dfrac{XC}{XD}=\dfrac{XF}{XY}$ ，所以 $XF\cdot XD=XC\cdot XY$ 。

在点 $X$ 使用点的幂， $XC\cdot XG=XD\cdot XB$ ，合并可得 $XF\cdot XG=XB\cdot XY$ 。令 $d=BD$ 有 $DX=\dfrac14 d$ 且 $BY=\dfrac{11}{36}d$ ，所以 $\begin{aligned} XF\cdot XG &=\left(d-\tfrac14 d\right) \\ &\quad {}\cdot\left(d-\tfrac14 d-\tfrac{11}{36}d\right) \\ &=\dfrac34 d\cdot\dfrac49 d=\dfrac{d^2}{3}. \end{aligned}$

由于 $ABCD$ 是圆内接四边形， $\angle BAD$ 与 $\angle BCD$ 互补。在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ 中使用余弦定理，得到 $\dfrac{73-d^2}{48}=\dfrac{d^2-40}{24}$ ，所以 $d^2=51$ 。因此 $XF\cdot XG=\dfrac{51}{3}=17$ 。

所以正确答案是 A。

Because $YE\parallel AD$ and $EF\parallel AC,$ we get $\triangle XEY\sim\triangle XAD$ and $\triangle XEF\sim\triangle XAC,$ giving $\dfrac{XY}{XE}=\dfrac{XD}{XA}$ and $\dfrac{XF}{XE}=\dfrac{XC}{XA}.$ Hence $\dfrac{XC}{XD}=\dfrac{XF}{XY},$ so $XF\cdot XD=XC\cdot XY.$

Power of a Point at $X$ gives $XC\cdot XG=XD\cdot XB,$ and combining yields $XF\cdot XG=XB\cdot XY.$ With $d=BD,$ $DX=\dfrac14 d$ and $BY=\dfrac{11}{36}d,$ so $\begin{aligned} XF\cdot XG &=\left(d-\tfrac14 d\right) \\ &\quad {}\cdot\left(d-\tfrac14 d-\tfrac{11}{36}d\right) \\ &=\dfrac34 d\cdot\dfrac49 d=\dfrac{d^2}{3}. \end{aligned}$

Since $ABCD$ is cyclic, $\angle BAD$ and $\angle BCD$ are supplementary. The Law of Cosines on $\triangle ABD$ and $\triangle CBD$ gives $\dfrac{73-d^2}{48}=\dfrac{d^2-40}{24},$ so $d^2=51.$ Therefore $XF\cdot XG=\dfrac{51}{3}=17.$

Thus, the correct answer is A.

2017 AMC 12A 第 24 题

答案：A

难度评级：2520

解答：

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