2017 AMC 12A 第 23 题

Question

对某些实数

a

、

b

和

c

，多项式

g(x)=x^3+ax^2+x+10

有三个不同的根，且

g(x)

的每个根也是多项式

\begin{aligned} &f(x)=x^4+x^3+bx^2 \\ &\quad {}+100x+c \end{aligned}

的根。

f(1)

是多少？

For certain real numbers

a,

b,

and

c,

the polynomial

g(x)=x^3+ax^2+x+10

has three distinct roots, and each root of

g(x)

is also a root of the polynomial

\begin{aligned} &f(x)=x^4+x^3+bx^2 \\ &\quad {}+100x+c. \end{aligned}

What is

f(1)?

-9009

-8008

-7007

-6006

-5005

答案：C

知识点：多项式因式分解

难度评级：2380

小提示：

因为

g

的三个根都是

f

的根，所以对某个额外根

q

有

f(x)=(x-q)\,g(x)

Since the three roots of

g

are roots of

f,

we have

f(x)=(x-q)\,g(x)

for one extra root

q

大提示：

比较

x^1

项系数求

q

，再用

f(1)=(1-q)\,g(1)

Match the

x^1

coefficients to find

q,

then

f(1)=(1-q)\,g(1)

解答：

因为

g

有三个不同的根，且都被四次多项式

f

共享，所以可写成

f(x)=(x-q)g(x)

，其中

q

是剩下的根。展开得

\begin{aligned} &f(x)=x^4+(a-q)x^3 \\ &\quad {}+(1-qa)x^2 \\ &\quad {}+(10-q)x-10q \end{aligned}\text{。}

比较

x

的系数，

10-q=100

，所以

q=-90

。比较

x^3

的系数，

a-q=1

，所以

a=-89

。

因此

g(1)=1+a+1+10

=12-89=-77

，且

1-q=91

，所以

\begin{aligned} &f(1)=(1-q)g(1) \\ &=91\cdot(-77)=-7007 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 C。

Since

g

has three distinct roots all shared by the quartic

f,

we can write

f(x)=(x-q)g(x)

for some remaining root

q.

Expanding,

\begin{aligned} &f(x)=x^4+(a-q)x^3 \\ &\quad {}+(1-qa)x^2 \\ &\quad {}+(10-q)x-10q. \end{aligned}

Matching the

x

coefficient,

10-q=100,

so

q=-90.