2010 AMC 12B 第 16 题

Question

从集合

\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}

中有放回地随机且独立选取正整数

a

，

b

和

c

。

abc+ab+a

能被

3

整除的概率是多少？

Positive integers

a,

b,

and

c

are randomly and independently selected with replacement from the set

\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}.

What is the probability that

abc+ab+a

is divisible by

3?

\dfrac{1}{3}

\dfrac{29}{81}

\dfrac{31}{81}

\dfrac{11}{27}

\dfrac{13}{27}

答案：E

知识点：模运算基本概率分类讨论

难度评级：1810

小提示：

分解

abc+ab+a=a(bc+b+1)

；每个模

3

余数等可能出现

Factor

abc+ab+a=a(bc+b+1);

each residue mod

3

is equally likely

大提示：

如果

a

是

3

的倍数则成立；否则需要

bc+b+1

是

3

的倍数

If

a

is divisible by

3

it works; otherwise require

bc+b+1

to be divisible by

3

解答：

分解

abc+ab+a=a(bc+b+1)

。因为

2010

是

3

的倍数，

a, b, c

在模

3

下各个余数等可能。

如果

a

是

3

的倍数（概率为

\tfrac13

），乘积能被

3

整除。

如果

a

不是

3

的倍数（概率为

\tfrac23

），需要

bc+b+1

是

3

的倍数。检查余数可知，这恰好在

(b,c)\equiv(1,1)

或

(2,0)\pmod3

时成立，概率为

\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29

。

总概率是

\frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}\text{。}

因此，正确答案是 E。

Factor

abc+ab+a=a(bc+b+1).

Since

2010

is a multiple of

3,

each of

a, b, c

is uniform modulo

3.

If

a

is divisible by

3

(probability

\tfrac13

), the product is divisible by

3.

If

a

is not divisible by

3

(probability

\tfrac23

), we need

bc+b+1

to be divisible by

3.

Checking residues, this holds exactly when

(b,c)\equiv(1,1)

or

(2,0)\pmod3,

a probability of

\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29.

The total probability is

\frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}.

Thus, the correct answer is E.

2010 AMC 12B 第 16 题

答案：E

难度评级：1810

小提示：

大提示：

解答：

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