Question

有多少对正整数 $(a,b)$ 满足 $\gcd(a,b)=1$ ，并且是整数？ $\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}$

How many pairs of positive integers $(a,b)$ are there such that $\gcd(a,b)=1$ and $\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}$ is an integer?

$4$

$6$

$9$

$12$

无限多个

infinitely many

答案：A

知识点：整除性最大公约数分类讨论

难度评级：2340

解答：

设表达式等于整数 $k$ 。乘以 $b$ 并减去 $a$ ，得 $\dfrac{14b^2}{9a}=bk-a$ 为整数。由于 $\gcd(a,b)=1$ ，可得 $a\mid14$ 。另一方面，乘以 $9a$ 并减去 $14b$ ，得 $\dfrac{9a^2}{b}=9ak-14b$ ，所以 $b\mid9$ 。

因此 $a\in\{1,2,7,14\}$ ， $b\in\{1,3,9\}$ 。检验互质候选，表达式为整数的只有 $(a,b)=(1,3)$ ， $(2,3)$ ， $(7,3)$ ， $(14,3)$ 。

所以共有 $4$ 对。

所以正确答案是 A。

Let $k$ be the integer value of the original expression. Multiplying by $b$ and subtracting $a$ gives $\dfrac{14b^2}{9a}=bk-a,$ an integer. Since $\gcd(a,b)=1,$ it follows that $a\mid14.$ Multiplying instead by $9a$ and subtracting $14b$ gives $\dfrac{9a^2}{b}=9ak-14b,$ so $b\mid9.$

Thus $a\in\{1,2,7,14\}$ and $b\in\{1,3,9\}.$ Checking the coprime candidates, the expression is an integer only for $(a,b)=(1,3),$ $(2,3),$ $(7,3),$ $(14,3).$

So there are $4$ such pairs.

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B 第 24 题

答案：A

难度评级：2340

解答：

其他年份的第 24 题