2007 AMC 12B 第 23 题

Question

有多少个互不全等、直角边长为正整数的直角三角形，其面积的数值等于其周长的

3

倍？

How many non-congruent right triangles with positive integer leg lengths have areas that are numerically equal to

3

times their perimeters?

6

7

8

10

12

答案：A

知识点：直角三角形丢番图方程西蒙最爱的因式分解技巧

难度评级：2140

小提示：

设直角边

a\le b

，写出

\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)

，并把根式单独移到一边。

With legs

a\le b,

write

\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)

and isolate the radical

大提示：

平方并化简可得

(a-12)(b-12)=72

；数因数对并排除伪解。

Squaring and simplifying yields

(a-12)(b-12)=72;

check the factor-pair candidates in the original equation to remove extraneous ones

解答：

设直角边为

a\le b

。条件为

\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)

，所以

ab-6a-6b=6\sqrt{a^2+b^2}\text{。}

平方并化简得到

ab(ab-12a-12b+72)=0

，所以

(a-12)(b-12)=72

。正整数解为

(a,b)=(3,4)

，

(13,84)

，

(14,48)

，

(15,36)

，

(16,30)

，

(18,24)

，

(20,21)

。

其中

(3,4)

是伪解：它的面积为

6

，而它的周长为

12

，周长的三倍是

36

。所以恰有

6

个三角形。

所以正确答案是 A。

Let the legs be

a\le b.

The condition is

\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right),

so

ab-6a-6b=6\sqrt{a^2+b^2}.

Squaring and simplifying gives

ab(ab-12a-12b+72)=0,

hence

(a-12)(b-12)=72.

The positive integer solutions are

(a,b)=(3,4),

(13,84),

(14,48),

(15,36),

(16,30),

(18,24),

(20,21).

The pair

(3,4)

is extraneous: its area is

6,

while its perimeter is

12

and three times that is

36.

So exactly

6

triangles work.

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B 第 23 题

答案：A

难度评级：2140

小提示：

大提示：

解答：

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