2006 AMC 12B 第 16 题

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16.

正六边形

ABCDEF

的顶点

A

和

C

分别为

(0, 0)

和

(7, 1)

。它的面积是多少？

Regular hexagon

ABCDEF

has vertices

A

and

C

at

(0, 0)

and

(7, 1),

respectively. What is its area?

20\sqrt{3}

22\sqrt{3}

25\sqrt{3}

27\sqrt{3}

50

答案：C

知识点：正多边形距离公式面积

难度评级：1740

小提示：

A

和

C

相隔两个顶点，所以

AC

是正六边形的一条短对角线

A

and

C

are two vertices apart, so

AC

is a short diagonal of the hexagon

大提示：

若边长为

s

，短对角线为

s\sqrt3

；面积为

\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2

For side length

s,

the short diagonal is

s\sqrt3;

the area is

\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2

解答：

距离

AC = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}

。正六边形边长为

s

时，相隔两个顶点的距离为

s\sqrt3

，所以

s^2 \cdot 3 = 50

，即

s^2 = \dfrac{50}{3}

。

六边形面积为

\frac{3\sqrt3}{2}s^2 = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot \frac{50}{3} = 25\sqrt3\text{。}

因此，正确答案是 C。

The distance is

AC = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50}.

In a regular hexagon with side

s,

the distance between vertices two apart is

s\sqrt3,

so

s^2 \cdot 3 = 50,

giving

s^2 = \dfrac{50}{3}.

The hexagon’s area is

\frac{3\sqrt3}{2}s^2 = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot \frac{50}{3} = 25\sqrt3.

Thus, the correct answer is C.

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